Integrale doppio con cambio di variabile

[mary98scc]

Sto svolgendo un esercizio sul calcolo degli integrali doppi con cambio di variabile , ma ho riscontrato dei problemi quando devo fare il cambio di variabili nel dominio:

L'integrale da calcolare è il seguente:
$\int\int_{D} xydxdy$
con $D={(x,y)\in R^2|x>0, y<0, x^2+y^2>=1/4, x<1+y}$
Ho provato con il cambio in coordinate polari, ponendo:
$x=\rho cos(\theta)$
$y=\rho sin(\theta)$
Per determinare il nuovo dominio impongo le seguenti condizioni:
$\rho cos(\theta)>0$
$\rho sin(\theta)<0$
$\rho^ 2cos^2(\theta)+\rho^2 sin^2(\theta)>=1/4$
$\rho cos(\theta)<1+ \rho sin(\theta)$
Mettendo a sistema queste quattro condizioni ho ottenuto che :
$cos(\theta)>0$
$sin(\theta)<0$
$\rho>= 1/2$
$\rho(cos(\theta)-sin(\theta))<1$
quindi i nuovi estremi d'integrazione dovrebbero essere questi
$1/2<\rho<(1/(cos(\theta)-sin(\theta)))$
$3/2 pi<\theta<2pi$

Però non sono sicura di questi estremi che ho ottenuto e vorrei avere un parere sul procedimento che ho fatto

[pilloeffe]

Ciao mari.98,

Così ad occhio mi sembrano corretti, a parte un $\ge $ che è diventato un $> $, comunque irrilevante per l'integrazione:

$ 1/2 \le \rho< 1/(cos\theta - sin\theta) $

Per caso conosci il risultato? Se non ho fatto male i conti, l'integrale doppio proposto risulta $- 13/384 $

[mary98scc]

il risultato non lo conosco, però è uscito lo stesso risultato che è uscito a me

[pilloeffe]

Allora il risultato è quello, oppure abbiamo sbagliato in due...