Integrale doppio con cambiamento di variabili da cartesiane
Ho il seguente integrale doppio
Integrale lungo T di \(\displaystyle x/[1+sqrt(x^2+y^2)] dx dy \)
dove \(\displaystyle T = { (x,y) : x^2 + y^2 <=1 , x>=0 }
\)
senza cambiamento di variabili so che \(\displaystyle 0<=x<=1 \) e \(\displaystyle 0<=y<=sqrt(1-x^2) \)
e so anche che teta varia tra tra 0 e pigreco/2
Come trovo l'intervallo di variazione di ro?
Integrale lungo T di \(\displaystyle x/[1+sqrt(x^2+y^2)] dx dy \)
dove \(\displaystyle T = { (x,y) : x^2 + y^2 <=1 , x>=0 }
\)
senza cambiamento di variabili so che \(\displaystyle 0<=x<=1 \) e \(\displaystyle 0<=y<=sqrt(1-x^2) \)
e so anche che teta varia tra tra 0 e pigreco/2
Come trovo l'intervallo di variazione di ro?
Risposte
Ciao
premetto subito che non sono la persona più quotata per rispondere, quindi magari aspetta che altri più bravi di me confermino o smentiscano quello che ti dico.
per quanto riguarda gli estremi di integrazione direi un paio di cose:
quando ragioni in coordinate cartesiane hai $x>0$ quindi passando in coordinate polari hai $ -pi/2 \leq \varphi \leq \pi/2$
mentre il fatto che hai $x^2 + y^2 \leq 1$ ti porta ad avere $rho^2 \leq 1$ ma dato che $rho$ non può essere negativo perchè è una lunghezza, hai che $0 \leq rho \leq 1$
mi permetto inoltre di ricordarti una cosa, magari la sia già ma è un errore che io ho fatto spesso quindi per sicurezza te lo dico...
quando passi dalle coordinate cartesiane a quelle polari, fai attenzione a non fare una sostituzione brutale delle grandezze infinitesime, ovvero non sostituire direttamente $dx dy$ con $d rho d varphi$
la sostituzione corretta è $dx dy = |J| d rho d varphi$ dove $|J|$ è il determinante della matrice Jacobiana
tu applichi la trasformazione $( ( x ),( y ) ) \rightarrow ( ( rho cos varphi ),( rho sin varphi ) )$ quindi la matrice jacobiana è
$J = ( ( d/(d rho) (rho cos varphi ) , d/(d varphi) (rho cos varphi ) ),(d/(d rho) (rho sin varphi ) , d/(d varphi) (rho sin varphi )) ) = ( ( cos varphi , - rho sin varphi ),( sin varphi , rho cos varphi ) )$
per cui il determinante $|J|$ altro non diventa che $rho$
premetto subito che non sono la persona più quotata per rispondere, quindi magari aspetta che altri più bravi di me confermino o smentiscano quello che ti dico.
per quanto riguarda gli estremi di integrazione direi un paio di cose:
quando ragioni in coordinate cartesiane hai $x>0$ quindi passando in coordinate polari hai $ -pi/2 \leq \varphi \leq \pi/2$
mentre il fatto che hai $x^2 + y^2 \leq 1$ ti porta ad avere $rho^2 \leq 1$ ma dato che $rho$ non può essere negativo perchè è una lunghezza, hai che $0 \leq rho \leq 1$
mi permetto inoltre di ricordarti una cosa, magari la sia già ma è un errore che io ho fatto spesso quindi per sicurezza te lo dico...
quando passi dalle coordinate cartesiane a quelle polari, fai attenzione a non fare una sostituzione brutale delle grandezze infinitesime, ovvero non sostituire direttamente $dx dy$ con $d rho d varphi$
la sostituzione corretta è $dx dy = |J| d rho d varphi$ dove $|J|$ è il determinante della matrice Jacobiana
tu applichi la trasformazione $( ( x ),( y ) ) \rightarrow ( ( rho cos varphi ),( rho sin varphi ) )$ quindi la matrice jacobiana è
$J = ( ( d/(d rho) (rho cos varphi ) , d/(d varphi) (rho cos varphi ) ),(d/(d rho) (rho sin varphi ) , d/(d varphi) (rho sin varphi )) ) = ( ( cos varphi , - rho sin varphi ),( sin varphi , rho cos varphi ) )$
per cui il determinante $|J|$ altro non diventa che $rho$
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