Integrale doppio con cambiamento di variabili
Devo calcolare il seguente integrale doppio $ int int (1+y/x)^2 dx dy $ nel dominio $ D={ x<=y<=2x ; 2-y<=x<=4-y } $.
Siccome il dominio è graficamente un quadrilatero, e non c'è modo di dividerlo, devo procedere con la sostituzione.
Posso porre $u=x$ e $v=y$?
Siccome il dominio è graficamente un quadrilatero, e non c'è modo di dividerlo, devo procedere con la sostituzione.
Posso porre $u=x$ e $v=y$?
Risposte
Puoi, ma è abbastanza inutile, non credi? Ti consiglierei invece:
\[ \begin{cases} u = x + y \\ v = \frac{y}{x} \end{cases} \implies \mathcal{D}_{\star} =\Big \{(u,v) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 2 \leq u \leq 4, \ 1 \leq v \leq 2 \Big \} \]
\[ \begin{cases} u = x + y \\ v = \frac{y}{x} \end{cases} \implies \mathcal{D}_{\star} =\Big \{(u,v) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 2 \leq u \leq 4, \ 1 \leq v \leq 2 \Big \} \]
"Berationalgetreal":
Puoi, ma è abbastanza inutile, non credi? Ti consiglierei invece:
\[ \begin{cases} u = x + y \\ v = \frac{y}{x} \end{cases} \implies \mathcal{D}_{\star} =\Big \{(u,v) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 2 \leq u \leq 4, \ 1 \leq v \leq 2 \Big \} \]
Giusto, hai ragione!
Ora provo a svolgerlo e se dovessi avere problemi riposto.
Grazie mille!
Siccome devo fare lo Jacobiano per per trovare dxdy, ho espresso x e y in funzione di u e v.
Dunque ho che:
$ { ( y=(vu)/(v+1) ),( x=(u)/(v+1) ):} $
$ J=| ( (1)/(v+1) , (-u)/(v+1)^2 ),( v/(v+1) , (u)/(v+1)^2 ) | $
Giusto?
Dunque ho che:
$ { ( y=(vu)/(v+1) ),( x=(u)/(v+1) ):} $
$ J=| ( (1)/(v+1) , (-u)/(v+1)^2 ),( v/(v+1) , (u)/(v+1)^2 ) | $
Giusto?
Puoi anche direttamente fare la Jacobiana di \(u,v\), non devi per forza invertire le relazioni. In questo caso:
\[ J = \left [ \begin{matrix} 1 & 1 \\- \frac{y}{x^2 } & \frac{1}{x } \end{matrix} \right ], \ \text{det} \ J = \frac{1}{x} \left ( 1 + \frac{y}{x} \right ) \]
Quindi:
\[ \underset{\mathcal{D}}{\iint} \left ( 1 + \frac{y}{x} \right )^2 \ \text{d} x \text{d} y = \underset{\mathcal{D}}{\iint} \underbrace{x \left ( 1 + \frac{y}{x} \right )}_{{} = x + y } \; \underbrace{ \frac{1}{x} \left (1 + \frac{y}{x} \right)}_{{} = \text{det} \ J} \ \text{d} x \text{d} y = \underset {\mathcal{D}_{\star}} {\iint} u \ \text{d} u \text{d} v \]
\[ J = \left [ \begin{matrix} 1 & 1 \\- \frac{y}{x^2 } & \frac{1}{x } \end{matrix} \right ], \ \text{det} \ J = \frac{1}{x} \left ( 1 + \frac{y}{x} \right ) \]
Quindi:
\[ \underset{\mathcal{D}}{\iint} \left ( 1 + \frac{y}{x} \right )^2 \ \text{d} x \text{d} y = \underset{\mathcal{D}}{\iint} \underbrace{x \left ( 1 + \frac{y}{x} \right )}_{{} = x + y } \; \underbrace{ \frac{1}{x} \left (1 + \frac{y}{x} \right)}_{{} = \text{det} \ J} \ \text{d} x \text{d} y = \underset {\mathcal{D}_{\star}} {\iint} u \ \text{d} u \text{d} v \]
Non capisco la $x$ nella seconda uguaglianza dove è uscita fuori.
Non dovrebbe essere $(1+(y)/(x))^2 $ per il determinante della Jacobiana?
Mi viene $137/9$ . E' giusto?
Non dovrebbe essere $(1+(y)/(x))^2 $ per il determinante della Jacobiana?
Mi viene $137/9$ . E' giusto?
La \( x \) è uscita fuori moltiplicando e dividendo per \(x \). Comunque, se questo ti confonde, facciamo a modo tuo:
\[ J = \left [ \begin{matrix} \frac{1}{v+1} & - \frac{u}{(v+1)^2} \\ \frac{v}{v+1} & \frac{u}{(v+1)^2} \end{matrix} \right ], \ \text{det} \ J = \frac{ u}{(v+1)^2} \]
Quindi:
\[ \underset{\mathcal{D}}{\iint} \left ( 1 + \frac{y}{x} \right )^2 \ \text{d} x \text{d} y = \underset {\mathcal{D}_{\star}} {\iint} (v+1)^2 \frac{u}{(v+1)^2} \ \text{d} u \text{d} v = \underset {\mathcal{D}_{\star}} {\iint} u \ \text{d} u \text{d} v \]
Comunque, no, non fa \( \frac{137}{9}\). Da cosa ti viene fuori?
\[ J = \left [ \begin{matrix} \frac{1}{v+1} & - \frac{u}{(v+1)^2} \\ \frac{v}{v+1} & \frac{u}{(v+1)^2} \end{matrix} \right ], \ \text{det} \ J = \frac{ u}{(v+1)^2} \]
Quindi:
\[ \underset{\mathcal{D}}{\iint} \left ( 1 + \frac{y}{x} \right )^2 \ \text{d} x \text{d} y = \underset {\mathcal{D}_{\star}} {\iint} (v+1)^2 \frac{u}{(v+1)^2} \ \text{d} u \text{d} v = \underset {\mathcal{D}_{\star}} {\iint} u \ \text{d} u \text{d} v \]
Comunque, no, non fa \( \frac{137}{9}\). Da cosa ti viene fuori?
Aspetta che ricontrollo i passaggi.
EDIT: errore grave di distrazione, ho scritto $(1+u)^2$ .
Purtroppo è abbastanza comune come errore. Per questo io di solito uso \( u,t\) invece di \(u,v \).
Grazie mille 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo