Integrale doppio compreso tra retta e parabola
Ho questo integrale doppio: $int int_(D)(xy) dx dy $ dove $D$ è la regione piana delimitata dalla retta di equazione $x=y+1$ e dalla parabola di equazione : $y^2=2x+6$.
Procedo così, dopo un paio di calcoli:
la retta $x=y+1$ incontra l'asse delle x nel punto $P1(1,0)$, mentre incontra la parabola nei punti $P2 (5,4)$ e $P3= (-1,-2)$.
Ora dovrei dividere il dominio in tre punti (penso), ho le idee un po' confuse. Come procedo? Grazie mille
Procedo così, dopo un paio di calcoli:
la retta $x=y+1$ incontra l'asse delle x nel punto $P1(1,0)$, mentre incontra la parabola nei punti $P2 (5,4)$ e $P3= (-1,-2)$.
Ora dovrei dividere il dominio in tre punti (penso), ho le idee un po' confuse. Come procedo? Grazie mille
Risposte
Secondo me basta partizionarlo in due il dominio. ..però sto col cellulare in giro con la morosa e non vorrei sbagliarmi. Prova a vedere cosa riesci a fare ( prendo per buoni i tuoi calcoli ).
La prima parte con i seguenti estremi di integrazione:
$-3
$-sqrt (2x+6)
La seconda parte con i seguenti estremi:
$-1
$ x-1
....con beneficio di inventario eh...se qualcuno magari controlla è meglio. ....
La prima parte con i seguenti estremi di integrazione:
$-3
$-sqrt (2x+6)
La seconda parte con i seguenti estremi:
$-1
$ x-1
....con beneficio di inventario eh...se qualcuno magari controlla è meglio. ....
Scusa, come ti escono quei valori dove x e y sono compresi?
Ho disegnato il grafico e preso per buono i tuoi punti di intersezione
$ y=+-sqrt (2x+6) $ è una parabola rovesciata con vertice in $(-3; 0) $ . Poiec'è la retta $ y=x-1$.
Nel primo pezzo y è compreso fra i due rami della parabola. Nel secondo pezzo y è integrata fra la retta e la parabola. Non ti quadra?
Nel primo pezzo y è compreso fra i due rami della parabola. Nel secondo pezzo y è integrata fra la retta e la parabola. Non ti quadra?
penso che sia meglio vedere la parte compresa tra retta e parabola come dominio normale rispetto all'asse y
"quantunquemente":
penso che sia meglio vedere la parte compresa tra retta e parabola come dominio normale rispetto all'asse y
Sì hai ragione. ...ho messo giù una definizione degli estremi inutilmente complicata....così non serve nemmeno la partizione. ...
$-2
$ y^2/2-3
Integri prima x e poi y
"tommik":
se lo dici tu è corretto di sicuro
solo la morte è sicura
Si, adesso mi è chiaro, grazie tommik
propongo comunque la mia soluzione
"quantunquemente":
propongo comunque la mia soluzione
Un po' più tardi ma ci sono arrivato anche io....
"Izzo":
Si, adesso mi è chiaro, grazie tommik
Grazie a quantunquemente. ...prova ad integrare sul dominio normale all'asse delle x come volevo farti fare io....e domani saresti stato ancora lì a cercare di risolvere l'integrale. ....
Grazie quantunquemente
alla fine comunque è stato tutto molto utile per vedere come un integrale possa essere definito su entrambi i domini...e come la sua risoluzione possa essere semplificata semplicemente cambiando il punto di riferimento degli assi..ora sarebbe interessante svolgerlo in entrambe le maniere....
"quantunquemente":
propongo comunque la mia soluzione
scusate ma gli estremi di integrazione del secondo integrale non dovrebbero essere invertiti? In questo modo intendo:
$ int_(-2)^(4) ydyint_(y+1)^(y^2/2-3) x dx $
oppure sbaglio a "leggere" il dominio 
no sbagli!
sono corretti questi:
$int_(-2)^(4)int_(1/2y^2-3)^(y+1)....dydx$
sono corretti questi:
$int_(-2)^(4)int_(1/2y^2-3)^(y+1)....dydx$
fai una prova e ti rendi conto....prendi ad es $y=0$ e sostituisci nei tuoi estremi della $x$...vedrai che li hai scritti al contrario
"tommik":
no sbagli!
sono corretti questi:
$int_(-2)^(4)int_(1/2y^2-3)^(y+1)....dydx$
in futuro, per evitare errori del genere cosa potrei fare? io dicevo di invertirli perchè dal grafico noto che $x=y+1$ sta sotto alla parabola ....
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