Integrale doppio complicato

[Amartya]

Salve a tutti ho il seguente esercizio:

Calcolare l'integrale

$int_T 1/x^6*log((x^4-y^2)/(x^5*y))dxdy}$

essendo

$T={(x,y) in R^2 : x^2/9<=y<=x^2/3; 1/2<=xy<=2}$

Ho cercato di risolverlo ma viene una cosa immensa, mi chiedevo e vi chiede se ci vedete alcuni possibili cambiamenti di variabili o qualsiasi altro artificio per rendere umano questo esercizio. Francamente io non ne vedo.

Grazie a tutti e buone feste

Emanuele

[Quinzio]

In effetti viene una cosa lunga e noiosa. Non credo che ci siano delle scorciatoie.
Ottimo esercizio da fare quando non si prende sonno.

[Amartya]

"Quinzio":In effetti viene una cosa lunga e noiosa. Non credo che ci siano delle scorciatoie.
Ottimo esercizio da fare quando non si prende sonno.

viene comunque complicato ma decisamente meno estremo attraverso questo cambio di variabili.

Posto $y/x^2 = u$ e $xy = v$ si ottiene $1/9<=u<=1/3$ e $1/2<=v<=2$

mentre l'integrale viene $int_T u^2/v^2*log((1-u^2)/v)*(-3u) dudv$

$-3u$ rappresenta il differenziale nelle nuove variabili.

e quindi viene un integrale con estremi di integrazione senza variabili

Spero sia corretto.

[ciampax]

Lo Jacobiano viene $1/3 u v^{-2}$, non $-3u$.

[Amartya]

"ciampax":Lo Jacobiano viene $1/3 u v^{-2}$, non $-3u$.

ciao e grazie della risposta, purtroppo però non mi ritrovo. Infatti derivando $u$ rispetto a $x$ e $y$ ottengo rispettivamente $-2y/x^3$ e $1/x^2$, mentre per $v$ ottengo rispettivamente $y$ e $x$, lo jacobiano pertanto mi risulterebbe $-2y/x^2-y/x^2$ e quindi $-3y/x^2 = -3u$.

Non riesco a capire dove sto sbagliando.

[ciampax]

emanuele, devi derivare $x,y$ rispetto ad $u,v$!

[Amartya]

"ciampax":emanuele, devi derivare $x,y$ rispetto ad $u,v$!

lo faccio in quel modo perchè nel libro che uso fa così, cioè deriva $u$ e $v$ rispetto a $x$ e $y$ e lo fa in più esempi, tra l'altro nel dominio sono molto simili all'esercizio.

[ciampax]

Ok, avevo sbagliato io un segno negli esponenti: ciò non toglie che applichi un metodo a metà corretto: se calcoli lo jacobiano in quel modo, allora ci devi mettere il reciproco del determinante trovato, cioè $-1/{3u}$

[Amartya]

"ciampax":Ok, avevo sbagliato io un segno negli esponenti: ciò non toglie che applichi un metodo a metà corretto: se calcoli lo jacobiano in quel modo, allora ci devi mettere il reciproco del determinante trovato, cioè $-1/{3u}$

ok. Grazie