Integrale doppio: come impostare l'esercizio?

[hastings1]

Qualcuno mi può aiutare con il seguente esercizio?

Calcolare: [tex]\int \int_D e^x \, dx \, dy[/tex]

Dove D è l'insieme dei punti del piano dove vale simultaneamente {[tex]2|x| \leq y \leq -x^2+8 }[/tex]}


Io ho provato così:
Facendo riferimento alla figura del dominio (vedi immagine sottostante) ho trovato le ascisse dei punti di intersezione tra le due curve y=2|x| ed y=-x^2+8 (ascisse dei punti A e B): xA=-2, xB=2.
Quindi devo distinguere due casi
I) dominio D1={-2 ≤x ≤ 0; -2x≤ y ≤ -x² +8 } da cui segue: [tex]\int_{-2}^{0} \int_{-2x}^{-x^2+8} e^x \,dx \,dy[/tex]


II) dominio D2={0 ≤ x≤ 2; 2x≤ y≤ -x² +8} da cui segue [tex]\int_{0}^{2} \int_{2x}^{-x^2+8} e^x \,dx \,dy[/tex]

I due integrali li calcolo separatamente integrando per parti dove occorre, e poi sommo i due risultati, giusto? Potreste controllare gli estremi di integrazione in x e y nei due casi?
Grazie a tutti coloro che risponderanno.



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[legendre]

ok

[hastings1]

Quindi fare così è sbagliato ?

I) [tex]\int_{-2}^{2} \int_{-2x}^{-x^2+8}e^x dx dy[/tex]



II)[tex]\int_{-2}^{2} \int_{2x}^{-x^2+8}e^x dx dy[/tex]

L'unico cambiamento che ho fatto è agli estremi dell'integrale di x