Integrale doppio cambio variabili
Salve a tutti,
mi sto esercitando nel risolvere alcuni integrali doppi con cambia di variabili (non attraverso le coord. polari).
Sto avendo un problema col seguente integrale :
$ int int_D (x-y)sqrt(x+y)dx dy $ , dove $D$ è il dominio è la superficie che è formata da questa intersezione composta da 4 rette (qui).
Non capisco perché ponga le variabili sostitutive $u= x-y$ e $v=(x+y)$ , oltre al fatto che il dominio così trasformato diverrà come $ (x,y):R^2 , 0<= u <= 1 ,1<= v<= 3 $ .
Ho pensato che avesse traslato il rettangolo così trovatosi, ma come avviene tale traslazione? Annullando risp. le variabili x ed y in modo da trovarsi le rette parallele agli assi ?
Grazie per le risposte!
mi sto esercitando nel risolvere alcuni integrali doppi con cambia di variabili (non attraverso le coord. polari).
Sto avendo un problema col seguente integrale :
$ int int_D (x-y)sqrt(x+y)dx dy $ , dove $D$ è il dominio è la superficie che è formata da questa intersezione composta da 4 rette (qui).
Non capisco perché ponga le variabili sostitutive $u= x-y$ e $v=(x+y)$ , oltre al fatto che il dominio così trasformato diverrà come $ (x,y):R^2 , 0<= u <= 1 ,1<= v<= 3 $ .
Ho pensato che avesse traslato il rettangolo così trovatosi, ma come avviene tale traslazione? Annullando risp. le variabili x ed y in modo da trovarsi le rette parallele agli assi ?
Grazie per le risposte!
Risposte
Il fatto che usi quella particolare trasformazione è presto detto: in questo modo la funzione integranda diventa molto semplice, riducendosi a $u\sqrt{v}$ che, come vedi, è un prodotto di funzioni dipendenti da variabili indipendenti e quindi, molto probabilmente, ciò ti permetterà di spezzare l'integrale doppio in un prodotto di integrali in una variabile.
Per la seconda tua affermazione, la trasformazione così scritta risulta una rotazione composta con una omotetia (dilatazione) e non una traslazione. E' per questo che il dominio ottenuto risulta quello che vedi. Per capire come determinare le limitazioni per $u,v$ ti consiglio di procedere così: considera i punti di intersezione del quadrilatero che hai postato in figura (che rappresentano i vertici del dominio di partenza. Calcola le nuove coordinate rispetto a $uOv$ (basta sostituire volta per volta nelle equazioni delle trasformazioni) e osserva che avendo una rotazione e una dilatazione la figura finale, dopo la trasformazione, dovrà essere simile. Da quella, puoi ricavare gli estremi per le nuove variabili.
Per la seconda tua affermazione, la trasformazione così scritta risulta una rotazione composta con una omotetia (dilatazione) e non una traslazione. E' per questo che il dominio ottenuto risulta quello che vedi. Per capire come determinare le limitazioni per $u,v$ ti consiglio di procedere così: considera i punti di intersezione del quadrilatero che hai postato in figura (che rappresentano i vertici del dominio di partenza. Calcola le nuove coordinate rispetto a $uOv$ (basta sostituire volta per volta nelle equazioni delle trasformazioni) e osserva che avendo una rotazione e una dilatazione la figura finale, dopo la trasformazione, dovrà essere simile. Da quella, puoi ricavare gli estremi per le nuove variabili.
Hai ragione, chiedo scusa non è una traslazione. 
Ok, farò come detto e ti farò sapere se riesco, grazie mille.
Per il fatto della sostituzione , mi capita che viene fatta sia per "facilitare" la risoluzione dell'integrale (come in questo caso) , sia per ricondurre il dominio ad un rettangolo.Quello che non capisco è QUANDO attuare tale sostituzione.
Ok, farò come detto e ti farò sapere se riesco, grazie mille.
Per il fatto della sostituzione , mi capita che viene fatta sia per "facilitare" la risoluzione dell'integrale (come in questo caso) , sia per ricondurre il dominio ad un rettangolo.Quello che non capisco è QUANDO attuare tale sostituzione.
Non c'è una regola precisa: è l'esperienza che ti aiuta.
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