Integrale doppio, cambiamento di variabili

[Mrhaha]

Eh si, anche a Natale l'analisi è con me! Ieri ho lasciato un esercizio irrisolto e ora mi perseguita!
Innanzittutto volevo augurare a tutti buon Natale!
L'esercizio tra l'altro è il seguente:
"Sia $f(x,y) = (tan (x+y))/(x+y)$, si calcoli l'integrale doppio della funzione precedentemente definita nel dominio $D$ rappresentante il triangolo di vertici $(0,0) (1,0) (0,1)$. Hint: si usi un cambiamento di variabili. "
Io avevo pensato a questo cambiamento: $u=x+y$, ma v non saprei, che dite di $v=y$ ?

[DMNQ]

"Mrhaha":Eh si, anche a Natale l'analisi è con me! Ieri ho lasciato un esercizio irrisolto e ora mi perseguita!
Innanzittutto volevo augurare a tutti buon Natale!
L'esercizio tra l'altro è il seguente:
"Sia $f(x,y) = (tan (x+y))/(x+y)$, si calcoli l'integrale doppio della funzione precedentemente definita nel dominio $D$ rappresentante il triangolo di vertici $(0,0) (1,0) (0,1)$. Hint: si usi un cambiamento di variabili. "
Io avevo pensato a questo cambiamento: $u=x+y$, ma v non saprei, che dite di $v=y$ ?

Ciao !
L'idea è giusta .
Per cominciare , vedo $ D = { ( x , y ) | 0<= x+y <=1 , 0 <= x , 0<= y } $
cioè $ D = { ( x , y ) | 0<= x+y <=1 , 0 <= y <= x + y } $ .
Ponendo $ u =x+y$ e $v = y $ ho $ \int int_D f(x,y) dx dy = \int int_\Delta \frac{tan(u)}{u} J du dv $
dove $ \Delta = { (u,v) | 0<= u <=1 , 0<= v <= u } $ e $ J = 1 $
Cosi $ \intint_D f(x,y) dx dy = \int_0^1 ( int_0^u \frac{tan(u)}{u} dv ) du $ .
Penso che questo si termini facilmente .

[Mrhaha]

Grazie!
Sei stato davvero molto chiaro! Posso farti un'ultima domanda?
Perchè $ y <= y+x$? Perchè è sempre vero o lo hai detto da qualche dato? Perchè sostanzialmente era li che mi bloccavo!

[DMNQ]

"Mrhaha":Grazie!
Sei stato davvero molto chiaro! Posso farti un'ultima domanda?
Perchè $ y <= y+x$? Perchè è sempre vero o lo hai detto da qualche dato? Perchè sostanzialmente era li che mi bloccavo!

Nell'insieme $ D $ ho $ 0 <= x $ e $ 0 <= y $
cioè $ y <= x + y $ e $ 0 <= y $ .

[Mrhaha]

Ah okok! Grazie ancora!

[Quinzio]

"DMNQ":
dove $ \Delta = { (u,v) | 0<= u <=1 , 0<= v <= u } $ e $ J = 1 $
Cosi $ \intint_D f(x,y) dx dy = \int_0^1 ( int_0^u \frac{tan(u)}{u} dv ) du $ .
Penso che questo si termini facilmente .

Scusate se m'intrometto, , ma credo che ci sia qualcosa da mettere a posto negli estremi di integrazione (non sono sicuro eh!).