Integrale doppio - cambiamento di variabile

[NewFrontiers]

Ciao a tutti,
non riesco a risolvere questo integrale:

$\int int (y^2 + 4x^2) dxdy$ su E = ${(x,y) in RR^2 : y^2 + 4x^2<=4 ; y>=0}$

ho pensato di cambiare le variabili, ma non mi è riuscito: potete aiutarmi?

Grazie

[gio73]

Ciao NewFrontiers, comincia a esporre tutto quello che sei riuscita/o a fare. Ad esempio hai disegnato il dominio?

[NewFrontiers]

Dunque, ho trovato che il dominio è la porzione di piano delimitata del "semi-ellisse" che ha b=2 e a=1 con le y positive. Avevo pensato di cambiare variabile servendomi della parametrizzazione dell'ellisse $ ( a*cos(t) , b*sen(t) ) $ con t $\epsilon$ [0 , $\pi$ ] , ma non sono riuscita a cavarne le gambe...

[gio73]

Ciao Newfrontiers, non ho la soluzione, sono qui per imparare come te, ho provato a pensare alla tua funzione e ho fatto alcune osservazioni, non so se possono esserti utili:
Allora ho immaginato la tua funzione come una sorta di paraboloide a sezione ellittica, il vertice è nell'origine.
Se faccio delle fette con piani perpendicolari a z (curve di livello) mi vengono delle ellissi sempre più grandi via via che saliamo sopra l'origine. La frontiera del dominio del nostro integrale corrisponde alla curva di livello che otterremmo a quota z=4. Nel nostro integrale però dovremmo considerare solo mezza ellissi.
Quello che ho pensato di fare, ma non so se è appropriato, è di trovare il volume della parte sottostante la funzione nell'area del nostro mezzo ellissi come differenza tra il mezzo cilindro a sezione ellittica (alto 4) e il volume del mezzo paraboloide a sezione ellittica (sempre alto 4).