Integrale doppio - cambiamento di variabile
Devo risolvere questo integrale:
$\int y dx dy$ su $D={(x,y) \epsilon RR^2:1<=x^2+y^2<=4,y>=0,y>=x}$
Faccio un cambiamento di variabile:
$\tilde{D}={(\rho,\theta):1<=\rho<=2,sin\theta>=0,sin\theta>=cos\theta}$
Quindi passo all'integrale sul nuovo dominio:
$\int(\rho^2 sin\theta d\rho d\theta)=(\int_{1}^{2} \rho^2 d\rho)(2 \int_{\pi/4}^{\pi/2} sin\theta d\theta)$
$\int_{1}^{2} \rho^2 d\rho=\rho^3/3 |_1^2 = 7/3$
$\int_{\pi/4}^{\pi/2} sin\theta d\theta=-cos\theta |_(\pi/4)^(\pi/2)=-(1-1/sqrt(2))$
Totale $-14/3(1-1/sqrt(2))$
Il mio risultato però è errato, perchè dovrebbe uscire $7/6(2+sqrt(2))$
Mi aiutate a capire l'errore??? Grazie
$\int y dx dy$ su $D={(x,y) \epsilon RR^2:1<=x^2+y^2<=4,y>=0,y>=x}$
Faccio un cambiamento di variabile:
$\tilde{D}={(\rho,\theta):1<=\rho<=2,sin\theta>=0,sin\theta>=cos\theta}$
Quindi passo all'integrale sul nuovo dominio:
$\int(\rho^2 sin\theta d\rho d\theta)=(\int_{1}^{2} \rho^2 d\rho)(2 \int_{\pi/4}^{\pi/2} sin\theta d\theta)$
$\int_{1}^{2} \rho^2 d\rho=\rho^3/3 |_1^2 = 7/3$
$\int_{\pi/4}^{\pi/2} sin\theta d\theta=-cos\theta |_(\pi/4)^(\pi/2)=-(1-1/sqrt(2))$
Totale $-14/3(1-1/sqrt(2))$
Il mio risultato però è errato, perchè dovrebbe uscire $7/6(2+sqrt(2))$
Mi aiutate a capire l'errore??? Grazie
Risposte
Vanno messi a posto gli estremi dell'integrale in $d\theta$
secondo me è sbagliato il dominio di $\theta$, dovrebbe comprendere anche la parte di circonferenza del secondo quadrante
Ne ho tenuto conto con la simmetria, moltiplicando l'integrale del primo quadrante per 2...
Che vuol dire gli estremi dell'integrale???
Che vuol dire gli estremi dell'integrale???
lascia perdere il $2$ e la simmetria e guarda come varia $\theta$
se io considero $1/4 \pi <= \theta <= 3/4 \pi$ a me il risultato non cambia, anzi peggiora perchè poi mi esce 0...
concordo con quanto detto! A mio parere l'altro estremo di integrazione è pi greco, e non pi greco mezzi. Poi non capisco qui:
Dove è uscito quel 2?
"Mito125":
$\int(\rho^2 sin\theta d\rho d\theta)=(\int_{1}^{2} \rho^2 d\rho)(2 \int_{\pi/4}^{\pi/2} sin\theta d\theta)$
Dove è uscito quel 2?
Ho provato a ricalcolare l'integrale senza servirmi della simmetria(sempre che ci sia)
$int_1^2 \rho^2 d\rho=\rho^3/3 |_(1)^(2)=(8/3-1/3)=7/3$
$int_(\pi/4)^(3/4 \pi) sin\theta d\theta=-cos\theta |_(\pi/4)^(3/4 \pi)=cos\theta |_(3/4 \pi)^(\pi/4)=1/sqrt(2) +1/sqrt(2)=7/6 sqrt(2)$
Il dominio è rimasto identico $\tilde{D}={(\rho,\theta):1<=\rho<=2,sin\theta>=0,sin\theta>=cos\theta$
Mi manca qualcosa ancora però... Io non lo vedo... Mi manca un termine... E vorrei capire perchè nell'utilizzare la simmetria non veniva nemmeno metà del risultato...
$int_1^2 \rho^2 d\rho=\rho^3/3 |_(1)^(2)=(8/3-1/3)=7/3$
$int_(\pi/4)^(3/4 \pi) sin\theta d\theta=-cos\theta |_(\pi/4)^(3/4 \pi)=cos\theta |_(3/4 \pi)^(\pi/4)=1/sqrt(2) +1/sqrt(2)=7/6 sqrt(2)$
Il dominio è rimasto identico $\tilde{D}={(\rho,\theta):1<=\rho<=2,sin\theta>=0,sin\theta>=cos\theta$
Mi manca qualcosa ancora però... Io non lo vedo... Mi manca un termine... E vorrei capire perchè nell'utilizzare la simmetria non veniva nemmeno metà del risultato...
Ma io non continuo a non essere d'accordo!
"Mrhaha":
Ma io non continuo a non essere d'accordo!
Così la risposta non mi aiuta ad andare avanti...
up...
Partiamo dal secondo estremo di integrazione. Perchè secondo te è $3/4 pi $? Se consideriamo il dominio è fatto dal secondo quadrante più metà del primo, giusto?
Adesso la metà del primo quadrante non è rappresentatà da 45 gradi e la fine del secondo quadrante da 180 gradi?
Adesso la metà del primo quadrante non è rappresentatà da 45 gradi e la fine del secondo quadrante da 180 gradi?
"Mito125":
Devo risolvere questo integrale:
$\int y dx dy$ su $D={(x,y) \epsilon RR^2:1<=x^2+y^2<=4,y>=0,y>=x}$
Mi pare che il cambiamento seguente è utile
$\tilde{D}={(\rho,\theta):1<=\rho<=2 e \pi/4 <= \theta <= \pi }$
Quindi sul nuovo dominio:
$\int_D y dx dy = \int_{\tilde{D}} \rho^2 sin\theta d\rho d\theta$
$=(\int_{1}^{2} \rho^2 d\rho)( \int_{\pi/4}^{\pi} sin\theta d\theta )$
Adesso ho capito... Ecco cosa sbagliavo... Io dividevo entrambi i quadranti... Mi ero fatto prendere e non avevo considerato il segno, guardavo solo i moduli di seno e coseno... Anche a $\pi$ il seno è maggiore del coseno...
Riprovo a farlo e ricommento se va a buon fine...
Riprovo a farlo e ricommento se va a buon fine...
Facci sapere anche se non va bene! 
Ok, l'errore era proprio quello... E' saltato fuori il risultato corretto... Grazie...
Ottimo! 
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