Integrale doppio calcolo di una superficie
Salve a tutti, oggi il tutor ci ha dato un esercizio di esempio e lo ha svolto senza commentare la soluzione. L'integrale in questione è questo:
\(\displaystyle \int \int_{A} (x+y) \ dx \ dy \)
nel dominio
\(\displaystyle A= \{(x,y):2x^3\leq y \leq 2\sqrt(x)\} \)
Ora nella risoluzione è passato direttamente alla forma:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} (\int_{\frac{y}{2}^{2} }^{\frac{y}{2}^{\frac{1}{3}}} (x+y) \ dx) \ dy = \frac{39}{35} \)
Ora io non ho capito come ha trovato gli estremi di integrazione, so che ha posto
\(\displaystyle x = \sqrt[3](\frac{y}{2})\)
\(\displaystyle x = (\frac{y}{2})^{2} \)
ma non come il primo sia diventato l'estremo superiore ed il secondo l'estremo inferiore.
Inoltre non capisco come abbia calcolato gli estremi di integrazione rispetto a y.
Ho provato a riguardare la teoria fatta precedentemente, ma non riesco a venirne a capo. Magari è una stupidaggine ma mi sembra una lacuna..
Spero che qualcuno mi possa aiutare
\(\displaystyle \int \int_{A} (x+y) \ dx \ dy \)
nel dominio
\(\displaystyle A= \{(x,y):2x^3\leq y \leq 2\sqrt(x)\} \)
Ora nella risoluzione è passato direttamente alla forma:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} (\int_{\frac{y}{2}^{2} }^{\frac{y}{2}^{\frac{1}{3}}} (x+y) \ dx) \ dy = \frac{39}{35} \)
Ora io non ho capito come ha trovato gli estremi di integrazione, so che ha posto
\(\displaystyle x = \sqrt[3](\frac{y}{2})\)
\(\displaystyle x = (\frac{y}{2})^{2} \)
ma non come il primo sia diventato l'estremo superiore ed il secondo l'estremo inferiore.
Inoltre non capisco come abbia calcolato gli estremi di integrazione rispetto a y.
Ho provato a riguardare la teoria fatta precedentemente, ma non riesco a venirne a capo. Magari è una stupidaggine ma mi sembra una lacuna..
Spero che qualcuno mi possa aiutare
Risposte
Dunque, il dominio [se non l'hai disegnato, disegnalo!] così com'è dato è semplice rispetto alle \(y\), il che significa che se lo intersechi con rette del tipo \(x=k\) ottieni dei segmenti.
Per qualche strano motivo, il tuo esercitatore l'ha riscritto come semplice rispetto ad \(x\), e siccome i punti di intersezione delle curve \(y = 2 \sqrt x\) e \(y=2x^3\) sono \((0,0)\) e \((1,2)\), allora la \(y\) [integrata per seconda, differenziale più esterno] varia tra \(0\) e \(2\), e la \(x\) varia tra... Gli estremi del segmento che ottieni intersecando la regione di integrazione con \(y = h\).
Più chiaro?
Per qualche strano motivo, il tuo esercitatore l'ha riscritto come semplice rispetto ad \(x\), e siccome i punti di intersezione delle curve \(y = 2 \sqrt x\) e \(y=2x^3\) sono \((0,0)\) e \((1,2)\), allora la \(y\) [integrata per seconda, differenziale più esterno] varia tra \(0\) e \(2\), e la \(x\) varia tra... Gli estremi del segmento che ottieni intersecando la regione di integrazione con \(y = h\).
Più chiaro?
Si mi pare sia più chiaro, ora provo a fare degli altri esercizi in modo da verificare che abbia effettivamente capito.
Ma il disegno del dominio mi serve per risolvere più facilmente l'esercizio oppure è parte dell'esercizio?
Ma il disegno del dominio mi serve per risolvere più facilmente l'esercizio oppure è parte dell'esercizio?
Il disegno ti serve per avere chiaro in mente quello che stai facendo 
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