Integrale doppio calcolo aree
ciao ragazzi mi serve uno aiuto in questo esercizio:
calcolare $ int int_( D) x\ dx \ dy $ dove D è la parte del primo quadrante interna ai cerchi di equazione polare ro=1 e ro=2cost
quindi il primo cerchio ha centro in (0,0) e raggio 1
il secondo cerchio ha centro in (1,0) e raggio 1 e fino a qui non ci dovrebbero essere errori,proseguiamo,considero il dominio normale all'asse x quindi riscrivo l'integrale con x=rocost per via delle equazioni polari e trovo che $2cost\leqro\leq1$ mentre invece non capisco come devo calcolare il secodno estremo di t che in parole povere è il punto in cui si incontrano i due cerchi.Io ho provato a fare un sistema con le due equazioni $x^2+y^2=1 $ e $ (x-1)^2+y^2=1$ e ottengo $x=1/2 $ quindi per trovare l'angolo calcolo l'arcotangente e ottengo $t=26,55°$qualcuno può darmi una mano mercoledii ho l'esameeee
calcolare $ int int_( D) x\ dx \ dy $ dove D è la parte del primo quadrante interna ai cerchi di equazione polare ro=1 e ro=2cost
quindi il primo cerchio ha centro in (0,0) e raggio 1
il secondo cerchio ha centro in (1,0) e raggio 1 e fino a qui non ci dovrebbero essere errori,proseguiamo,considero il dominio normale all'asse x quindi riscrivo l'integrale con x=rocost per via delle equazioni polari e trovo che $2cost\leqro\leq1$ mentre invece non capisco come devo calcolare il secodno estremo di t che in parole povere è il punto in cui si incontrano i due cerchi.Io ho provato a fare un sistema con le due equazioni $x^2+y^2=1 $ e $ (x-1)^2+y^2=1$ e ottengo $x=1/2 $ quindi per trovare l'angolo calcolo l'arcotangente e ottengo $t=26,55°$qualcuno può darmi una mano mercoledii ho l'esameeee
Risposte
mmh non mi convince quel $\rho = 2cosx$
Comunque hai 2 cerchi di raggio 1 e centrati rispettivamene in 1,0 e 0,0 allora trovi giustamente che l' intersezione è in $x = 1/2$.
Per trovare l' area a questo punto ti basta fare la somma di 2 integrali: il primo con $0 < x < 1/2$ e $-sqrt(1 - (x^2 - 1)) < y < +sqrt(1 - (x^2 - 1))$, mentre il secondo per $1/2 < x < 1$ e $-sqrt(1 - x^2) < y < +sqrt(1 - x^2)$
cioè per la prima parte consideri l' arco di circonferenza dato dal cerchio di centro 1,0 mentre nella seconda parte consideri quello centrato in 0,0
Comunque hai 2 cerchi di raggio 1 e centrati rispettivamene in 1,0 e 0,0 allora trovi giustamente che l' intersezione è in $x = 1/2$.
Per trovare l' area a questo punto ti basta fare la somma di 2 integrali: il primo con $0 < x < 1/2$ e $-sqrt(1 - (x^2 - 1)) < y < +sqrt(1 - (x^2 - 1))$, mentre il secondo per $1/2 < x < 1$ e $-sqrt(1 - x^2) < y < +sqrt(1 - x^2)$
cioè per la prima parte consideri l' arco di circonferenza dato dal cerchio di centro 1,0 mentre nella seconda parte consideri quello centrato in 0,0
cosa non ti convince di ro=2cost???
e comunque tu negli estremi sta considerando anche la parte negativa di y giusto?l'esercizio parla solo dell'area nel primo quadrante.
e comunque tu negli estremi sta considerando anche la parte negativa di y giusto?l'esercizio parla solo dell'area nel primo quadrante.
ah avevo fatto male i calcoli. Comunque si è vero è solo il primo quadrante, quindi come estremi inferiori delle y metti zero.
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