Integrale doppio: calcolare estremi di integrazione

[etuardu]

Salve, vorrei sapere i vari passi per calcolare gli estremi di integrazione nella risoluzione del seguente integrale doppio:

$\int_{A} x dx dy$

ove

$A = { (x, y) in RR^2; x^2+y^2<=4, 0<=y<=x+2 }$

Ho la soluzione in questo pdf, esercizio 6, ma non mi sono chiari i passaggi.

Grazie!

[darinter]

Disegnati per prima cosa il dominio,dopo aver fatto ciò,lo devi esprimere,quando è possibile,come dominio normale rispetto ad uno degli assi.In questo caso il tuo dominio non è normale rispetto all'asse x,devi allora spezzarlo un due domini (per capirci il triangolo ed il cerchio) ed esprimi questi due come domini normali.
Se non ti è chiaro spiego meglio.

[etuardu]

Ciao darinter, fino al disegno ci sono, il dominio dovrebbe essere quello evidenziato in rosso nella figura:

Quindi un triangolo e un quarto di cerchio. A questo punto in che senso (e in che modo) devo esprimere i due domini come normali?
Grazie per l'aiuto!

[darinter]

"etuardu":Ciao darinter, fino al disegno ci sono, il dominio dovrebbe essere quello evidenziato in rosso nella figura:

Quindi un triangolo e un quarto di cerchio. A questo punto in che senso (e in che modo) devo esprimere i due domini come normali?
Grazie per l'aiuto!

Ti ho detto di spezzarlo per farti fare come è proposto nella soluzione,altrimenti potresti considerare il dominio come normale rispetto all'asse $y$,ed in tal caso non ci sarebbe bisogno di spezzare il dominio.Comunque se vogliamo fare come proposto nella soluzione dobbiamo cercare di esprimere il dominio come normale rispetto all'asse $x$,ciò significa che la $x$ deve essere libera di variare in un intervallo opportuno e la $y$ invece deve essere compresa tra due funzioni di $x$.Non è possibile fare ciò sull'intero dominio (la $y$ non è compresa tra due funzioni di $x$),allora spezziamo il dominio $A$ in due domini $A_1$ e $A_2$ dove il primo sarebbe il triangolo,mentre il secondo quel quarto di circonferenza.A differenza di prima sia $A_1$ che $A_2$ sono esprimibili come domini normali rispetto ad x e dunque:
$A_1={(x,y)in R^2: x in[-2,0],0<=y<=x+2}$ (ovvero la $y$ è compresa tra zero e la retta $y=x+2$)
$A_2={(x,y)in R^2: x in[0,2],0<=y<=sqrt(4-x^2)}$ (ovvero la $y$ è compresa tra zero e l'arco di circonferenza $sqrt(4-x^2)$)

Fatto ciò il tuo integrale si spezza nella somma degli integrali estesi a questi due domini,ovvero:
$int int_(A)=int int_(A_1)+int int_(A_2)$
e per ognuno dei due integrali puoi applicare le formule di riduzione.

Spero sia stato chiaro
ciao

[etuardu]

"darinter":Spero sia stato chiaro

Chiaro come il giorno! Grazie davvero, era esattamente la spiegazione che stavo cercando!
Alla prossima

[paggisan]

ma come avete fatto a fare il disegno del dominio???
uffa io non capisco!!

[dissonance]

[asvg]xmin=-2;
xmax=2;
axes(0.5,0.5,"labels","grid");

stroke="black";
arc([2,0],[-2,0],2);
line([-2,0],[0,2]);[/asvg]
con

[asvg]xmin=-2;
xmax=2;
axes(0.5,0.5,"labels","grid");

stroke="black";
arc([2,0],[-2,0],2);
line([-2,0],[0,2]);[/asvg]

il riempimento non lo so fare però...

Comunque il disegno di prima non è fatto con codici come questo, ma (probabilmente) con un programma esterno e poi esportato come immagine.

[paggisan]

ops.....
mi sà che mi sono espressa male.....
io chiedevo a livello matematico come avete fatto a fare il disegno del dominio e non con i programmini del pc
cioè anche io ho grossi problemi con gli estremi di integrazione degli integrali doppi e tripli e non riesco a capire come si fanno a determinarli
qualcuno può spiegarmelo???

[dissonance]

non avevo capito!

[dissonance]

A questo punto provo a risponderti:
quel dominio viene da due disequazioni
$x^2+y^2<=4$ e $0<=y<=x+2$.
La prima è equivalente a $x^2+y^2-4<=0$; la funzione $x^2+y^2-4$ è continua e l'insieme ${x^2+y^2-4=0}$ è la circonferenza di centro l'origine e raggio 2. (Infatti $x^2+y^2=(sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2})^2=2^2$ cioè quella è l'equazione dei punti distanti da (0,0) esattamente 2). Siccome $x^2+y^2-4$ è continua, sulle due regioni interna ed esterna alla circonferenza deve avere segno costante. Infatti quella funzione può cambiare segno solo assumendo il valore zero (teorema degli zeri). Nel punto (0,0) la $x^2+y^2-4$ vale $-4$ che è negativo, e perciò su tutta la regione interna alla circonferenza quella funzione è negativa e la disuguaglianza è verificata. Con un discorso analogo risolvi l'altra disequazione.