Integrale doppio
Salve a tutti,
ho un problema con questo semplice integrale doppio:
$\int int _Omega x^2y dxdy$ dove $Omega$ è il dominio limitato dalla circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $r=1$ e dalle rette $x=0$ e $y=-x$.
Passando alle coordinate polari ottengo $\{(x=\rhocosvarphi),(y=\rho sinvarphi):}$ con $-pi/4<=varphi<=pi/2$ e $-1<=rho<=1$.
Riscrivo l'integrale $int_{-pi/4}^{pi/2} (int_{-1}^{1}(rho^2cosvarphi*rhosinvarphi)drho) dvarphi = int_{-pi/4}^{pi/2} (cos^2varphi sinvarphi [rho^4/4]_{-1}^{1}) dvarphi=0$ perchè $[rho^4/4]_{-1}^{1}=0$.
"Osservando" il grafico però in tutto il secondo quadrante, e quindi con $x>0$ e $y<0$, la funzione $f(x,y)=x^2y<0$ che è in contraddizione con il risultato dell'integrale.
ho un problema con questo semplice integrale doppio:
$\int int _Omega x^2y dxdy$ dove $Omega$ è il dominio limitato dalla circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $r=1$ e dalle rette $x=0$ e $y=-x$.
Passando alle coordinate polari ottengo $\{(x=\rhocosvarphi),(y=\rho sinvarphi):}$ con $-pi/4<=varphi<=pi/2$ e $-1<=rho<=1$.
Riscrivo l'integrale $int_{-pi/4}^{pi/2} (int_{-1}^{1}(rho^2cosvarphi*rhosinvarphi)drho) dvarphi = int_{-pi/4}^{pi/2} (cos^2varphi sinvarphi [rho^4/4]_{-1}^{1}) dvarphi=0$ perchè $[rho^4/4]_{-1}^{1}=0$.
"Osservando" il grafico però in tutto il secondo quadrante, e quindi con $x>0$ e $y<0$, la funzione $f(x,y)=x^2y<0$ che è in contraddizione con il risultato dell'integrale.
Risposte
Scusa ma se ho capito bene $phi in [-pi/4,pi/2]$...
ho presto una svista assurda, l'avevo scambiata per sbaglio con l'asse $x$. Perfetto, tutto spiegato ora 
Di niente 
Ripensandoci però, è davvero possibile che faccia $0$? Mi spiego, in questo caso l'integrale su tutto il dominio $Omega$ è uguale all'integrale sul primo quadrante ($0<=varphi<=pi/2$) più l'integrale sul secondo ($-pi/4<=varphi<=0$) (che è negativo), ma in valore assoluto l'integrale sul secondo è più piccolo di quello sul primo, quindi il risultato non può essere $0$, o sbaglio?
@Hadar: secondo me c'è un problema nel modo in cui è definito il dominio. Considerando che le due rette sono l'asse delle ordinate e la bisettrice del secondo e quarto quadrante ci sono ben 4 spicchi differenti che potrebbero determinare il dominio (oppure solo due se vogliamo supporre che dobbiamo muoverci in senso antiorario e prendere le rette nell'ordine in cui sono date). Per cui io direi che abbiamo da integrare su una coppia di domini (almeno), a meno che non ci sia qualche altra condizione (tipo $x<0$ o roba simile).
Dunque, la traccia che ho postato è completa, senza omissioni.
In ogni caso dato che la funzione è "antisimmetrica" rispetto ad x (grafico - grafico dominio) la scelta dell'intervallo non cambierebbe nulla in termini di valore assoluto: infatti qualunque dei due (o dei quattro) intervalli si consideri l'integrale non può in nessun caso essere uguale a 0.
Immagino ci sia qualche errore nella risoluzione o nell'impostazione dell'integrale, ma non ne trovo.
In ogni caso dato che la funzione è "antisimmetrica" rispetto ad x (grafico - grafico dominio) la scelta dell'intervallo non cambierebbe nulla in termini di valore assoluto: infatti qualunque dei due (o dei quattro) intervalli si consideri l'integrale non può in nessun caso essere uguale a 0.
Immagino ci sia qualche errore nella risoluzione o nell'impostazione dell'integrale, ma non ne trovo.
$rho in [0,1]$.....
Ecco, quello è uno. Il secondo è che se prendi i due pezzi che ti dicevo prima e integri, credo proprio venga zero.
Hai posto $rho in [0,1]$ e trovato come risultato $1/4$ ?
Sì, avevo trattato $rho$ come un parametro che può variare anche in negativo, il che non ha senso.
Alla fine è $1/4*int_{-pi/4}^{pi/2} cos^2(varphi) sin (varphi)=1/4*(-1/3)*[cos^3(varphi)]_{-pi/4}^{pi/2}=-1/12*(-sqrt(2)/4)=sqrt(2)/48$
Grazie mille ad entrambi
Alla fine è $1/4*int_{-pi/4}^{pi/2} cos^2(varphi) sin (varphi)=1/4*(-1/3)*[cos^3(varphi)]_{-pi/4}^{pi/2}=-1/12*(-sqrt(2)/4)=sqrt(2)/48$
Grazie mille ad entrambi
Ok di niente
Ricordati che $rho$ rappresenta graficamente appunto il "variare del raggio".
Ricordati che $rho$ rappresenta graficamente appunto il "variare del raggio".
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