Integrale doppio

[Amartya]

Salve a tutti devo risolvere il seguente integrale doppio definito nel triangolo $T:(0,0);(\pi/4,0);(\pi/4,\pi/2)$

l'integrale è $int_T x*sin(y)^2 dxdy$.

Che dovrebbe essere $int_0^(\pi/4) x dx int_0^(2x) sin(y)^2dy$

risolvendo per $y$ ottengo $[(1/2)*(y-sin(y)*cos(y))]$ tra $0$ e $2x$, il che significa $[x-(1/2)*sin(2x)*cos(2x)]$ e da cui ottengo:

$int_0^(\pi/4) x^2 - x*(1/2)*sin(2x)*cos(2x)dx$

Mi chiedo e vi chiedo, dapprima se ho svolto correttamente sino a quel punto, quindi se corretto, come si risolve l'integrale dove ci sono seno e coseno in $(2x)$?

Infine, esiste un metodo eventualmente che mi consente di evitare questi calcoli abbastanza lunghi?

Grazie in anticipo

Emanuele

[Quinzio]

nella funzione da integrare c'è $(sin y)^2$ oppure $sin(y^2)$ ?
Hai provato con Gauss-Green ? Forse si semplifica qualcosa.

[Amartya]

"Quinzio":nella funzione da integrare c'è $(sin y)^2$ oppure $sin(y^2)$ ?
Hai provato con Gauss-Green ? Forse si semplifica qualcosa.

Nella funzione intendo $(sin y)^2$

Mi chiedevo intanto se gli estremi di integrazione siano corretti.

E quindi se almeno sino al punto in cui sono arrivato i calcoli siano sempre corretti.

Con Gauss-Green non credo semplifico molto la situazione.


Non so voi che dite?

[Quinzio]

In ogni caso fa paura, ma in realtà è un integrale innocuo.

$\int_0^(\pi/4)\int_0^(2x) x sin^2y \ dy\ dx$

$= \int_0^(\pi/4) \ x [y/2-1/4 sin(2y)]_0^(2x) \ dx$

$= \int_0^(\pi/4) \ x [x-1/4 sin(4x)] \ dx$

$= \int_0^(\pi/4) \ x^2-x/4 sin(4x) \ dx$

Quindi $\int\ x\ sin x\ dx$ si integra per parti

$\int\ x\ sin x\ dx = -x \ cos x - \int\ -cos x\ dx$