Integrale Doppio
Salve a tutti. Volevo sapere se lo svolgimento del seguente esercizio è corretto. L'esercizio è un semplice calcolo di integrale doppio:
$ int_(D)^() (xy)/(x^2+4y^2)^(3/2) log(x^2+4y^2)dxdy $ dove $ D:{ ( x^2+4y^2 <= 4 ),( x >= 1 ),( y >= 1/2 ):} $
Andando a disegnare D scopro che è una parte dell'ellisse del primo quadrante che sta al di sotto dell'ellisse stessa e al di sopra delle due rette dell'insieme (non so se sono riuscito a farmi capire; mi è venuto, per intenderci, una specie di quarto di ellisse).
Comunque ho svolto l'integrale usando le coordinate polari modificate per l'ellisse, cioè scrivendo:
$ { ( x=2pcost ),( y=psent ):} $
Seguendo l'osservazione che ho fatto a proposito dell'insieme ho spezzato l'insieme di partenza D nei due seguenti insiemi:
$ { ( 1/(2sent) <= p <= 1 ),( 0 <= t <= pi/4 ):} $
$ { ( 1/(2cost) <= p <= 1 ),( pi/4 <= t <= pi/2 ):} $
Ora la mia domanda è giusto spezzare l'insieme? Altrimenti come si scrive il dominio trasformato?
Grazie a tutti anticipatamente!
$ int_(D)^() (xy)/(x^2+4y^2)^(3/2) log(x^2+4y^2)dxdy $ dove $ D:{ ( x^2+4y^2 <= 4 ),( x >= 1 ),( y >= 1/2 ):} $
Andando a disegnare D scopro che è una parte dell'ellisse del primo quadrante che sta al di sotto dell'ellisse stessa e al di sopra delle due rette dell'insieme (non so se sono riuscito a farmi capire; mi è venuto, per intenderci, una specie di quarto di ellisse).
Comunque ho svolto l'integrale usando le coordinate polari modificate per l'ellisse, cioè scrivendo:
$ { ( x=2pcost ),( y=psent ):} $
Seguendo l'osservazione che ho fatto a proposito dell'insieme ho spezzato l'insieme di partenza D nei due seguenti insiemi:
$ { ( 1/(2sent) <= p <= 1 ),( 0 <= t <= pi/4 ):} $
$ { ( 1/(2cost) <= p <= 1 ),( pi/4 <= t <= pi/2 ):} $
Ora la mia domanda è giusto spezzare l'insieme? Altrimenti come si scrive il dominio trasformato?
Grazie a tutti anticipatamente!
Risposte
Ciao. Secondo me avresti meno problemi centrando le coordinate polari in $(1,1/2)$, ossia nel punto dove si incontrano le rette. A quel punto dovrebbe essere semplice...
Scusa ma cosa cambia? Alla fine la parte che mi da problemi è il cambiamento di variabile nelle rette. Anche se faccio la tua trasformazione mi viene comunque di dividere l'integrale in due parti. Mi spiego meglio. Seguendo il tuo consiglio ottengo che l'insieme si trasforma in:
$ { ( p^2 <= 4 ),( pcost >= 1 ),( psent >= 1 ):} $
che (a meno dei coefficienti) è quello che viene a me con l'altra sostituzione.
$ { ( p^2 <= 4 ),( pcost >= 1 ),( psent >= 1 ):} $
che (a meno dei coefficienti) è quello che viene a me con l'altra sostituzione.
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