Integrale doppio

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
volevo sottoporvi un mio dubbio sul seguente integrale:
$\int int_{{x>=0}} xe^(-x(1+|y|)) dxdy$

Ecco come ho svolto l'esercizio:
$\int int_{{x>=0}} xe^(-x(1+|y|)) dxdy=\lim_{k \to \+infty}int_{0}^{+infty} x dx int_ {-k}^{k} e^(-x(1+|y|)) dy$
Considerando il secondo integrale scrivo
$int_ {-k}^{k} e^(-x(1+|y|)) dy=int_ {-k}^{0} e^(-x(1-y)) dy + int_ {0}^{k} e^(-x(1+y)) dy=1/x int_ {-k}^{0} xe^(-x(1-y)) dy -1/x int_ {0}^{k} -xe^(-x(1+y)) dy $

Il mio dubbio riguarda l'ultimo passaggio svolto. Dato che $x>=0$ (può anche essere zero) ciò varrà per $x!=0$. E per $x=0$? Come dovrei agire?

[Ziben]

Ciao,
penso che sarebbe meglio scrivere

$\int int_{{x>=0}} xe^(-x(1+|y|)) dxdy=\lim_{k \to \+infty}int_{0}^{+infty} x ( int_ {-k}^{k} e^(-x(1+|y|)) dy)dx$
Considerando il secondo integrale scrivo

"Sirio1988":
$int_ {-k}^{k} e^(-x(1+|y|)) dy=int_ {-k}^{0} e^(-x(1-y)) dy + int_ {0}^{k} e^(-x(1+y)) dy=1/x int_ {-k}^{0} xe^(-x(1-y)) dy -1/x int_ {0}^{k} -xe^(-x(1+y)) dy $

a questo punto risolvi gli integrali in $y$ e ti rimane una funzione di $x$ da integrare in $x$ che va moltiplicata per $x$ e il termine $i/x$ che ti crea problemi scompare. Da quei due integrali che hai scritto tu io ricavo $1/xe^(-x)(2-2e^(-kx))$ che va poi moltiplicata per $x$ e rimane $e^(-x)(2-2e^(-kx))$ da integrare tra $0$ e $+oo$

[sirio25788-votailprof]

Grazie mille! In effetti il mio problema era dovuto proprio alla maniera in cui avevo scritto l'integrale. In quel modo perdevo totalmente di vista la x che moltiplica $e^(-x(1+|y|))$.