Integrale doppio
ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio di tema d'esame di analisi 2, ma senza molti risultati. ecco il tema:
sia A= $ (x,y) in RR ^2 $ : $ x in [0, ln3] $ e $ y in [1, (2e) ] $ .
allora $ int int_(A) (2y)/(1 + e^{2x}) dx dxy $ vale? e il risultato dovrebbe essere $ ((2e)^2 -1)/2 $
ho provato vari modi, essendo su spazi normali, sia rispetto ad x che rispetto ad y, posso partire ad integrare sia da x che da y (scusate il linguaggio).
relativamente alla y nessun problema, ma riguardo alla x non riesco a cavarne fuori niente. ho provato con la formula risolutiva degli integrali di frazioni...ma niente. ho provato con la formula $ int (f'(x))/f(x) dx $ , ma ho quell'e^2x che mi intralcia.
ho provato con l'integrazioni per parti, considerando $ f(x) = (1 + e^{2x} )^-1 $ e $ f'(x) = - (1)/(1+e^{2x} )^2 $ e $ g'(x) = 1 $ e $ g(x) = x $ . svolgo la sostituzione per l'integrazione per parti e quando ottengo nuovamente l'integrale mi blocco.
qualcuno può gentilmente aiutarmi?
sia A= $ (x,y) in RR ^2 $ : $ x in [0, ln3] $ e $ y in [1, (2e) ] $ .
allora $ int int_(A) (2y)/(1 + e^{2x}) dx dxy $ vale? e il risultato dovrebbe essere $ ((2e)^2 -1)/2 $
ho provato vari modi, essendo su spazi normali, sia rispetto ad x che rispetto ad y, posso partire ad integrare sia da x che da y (scusate il linguaggio).
relativamente alla y nessun problema, ma riguardo alla x non riesco a cavarne fuori niente. ho provato con la formula risolutiva degli integrali di frazioni...ma niente. ho provato con la formula $ int (f'(x))/f(x) dx $ , ma ho quell'e^2x che mi intralcia.
ho provato con l'integrazioni per parti, considerando $ f(x) = (1 + e^{2x} )^-1 $ e $ f'(x) = - (1)/(1+e^{2x} )^2 $ e $ g'(x) = 1 $ e $ g(x) = x $ . svolgo la sostituzione per l'integrazione per parti e quando ottengo nuovamente l'integrale mi blocco.
qualcuno può gentilmente aiutarmi?
Risposte
Certo, metti $e^{2x}=t^2, dx=(dt)/(t)$.
(Sono "fresco" di integrali)
(Sono "fresco" di integrali)
allora, se ho capito bene si fa $ e^{x} = t $ , da cui ricavo x: $ x = ln( t) $ e poi la derivata. ok, provo, grazie mille.mi perdo sempre di ricavare la x mannaggia, troppa ruggine da analisi B. ringrazio ancora e faccio sapere
ho fatto la sostituzione, ma non riesco a proseguire:sono arrivato a
$ int_(a)^(b) 1/(1+e^{2x} ) dx $ , sostituisco $ t=e^{x} $ , $ dt/t = dx $ e risulta:
$ int_(c)^(d)( 1/(1+t^2) * 1/t )dt $ .
quindi???
$ int_(a)^(b) 1/(1+e^{2x} ) dx $ , sostituisco $ t=e^{x} $ , $ dt/t = dx $ e risulta:
$ int_(c)^(d)( 1/(1+t^2) * 1/t )dt $ .
quindi???
Quindi: integrazione di funzioni razionali fratte.
ragazzi scusatemi ma proprio non ci cavo il ragno dal buco:
ho fatto $ 1/((1+tì2)t)= A/t + (Bt+ C)/(1+tì2) $
ho sviluppato e ho ottenuto: $ 1= ( A + B)t^2 + Ct + A $ da cui risulta $ A=1 ;B=-1; C=0 $
inserisco nell'integrale: $ int 1/t -t/(1+t^2) dx $
ottenendo $ ln t - 1/2ln (t^2 +1) $
sostituisco e ottengo $ ln e^{x} -1/2ln (e^{2x} +1) $ il tutto integrato tra ln 3 e 0.
ho sbagliato qualche passaggio oppure ho fatto giusto fin ora?
ho fatto $ 1/((1+tì2)t)= A/t + (Bt+ C)/(1+tì2) $
ho sviluppato e ho ottenuto: $ 1= ( A + B)t^2 + Ct + A $ da cui risulta $ A=1 ;B=-1; C=0 $
inserisco nell'integrale: $ int 1/t -t/(1+t^2) dx $
ottenendo $ ln t - 1/2ln (t^2 +1) $
sostituisco e ottengo $ ln e^{x} -1/2ln (e^{2x} +1) $ il tutto integrato tra ln 3 e 0.
ho sbagliato qualche passaggio oppure ho fatto giusto fin ora?
Direi che va bene.
Quant'è $ln e^x$ ?
Quant'è $ln e^x$ ?
x...ma per il secondo termine?
risolto, grazie mille
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