Integrale doppio
Ciao a tutti,
eccomi di nuovo quì per chiedervi un aiuto...
Ho preso dei vecchi compiti dati dal mio Prof e tra questi ne ho trovati due che mi lasciano perplessa.
# Calcolare l'integrale $\int_T1/(x^6) log ((x^4-y^2)/(x^5y)) dxdy$ con $T= {(x,y) in RR^2 : x^2/9 <= y <= x^2/3; 1/2 <=xy<=2}$
La seconda parte con $1/2 <=xy<=2$ mi lascia un pò perplessa e credo che in questo caso l'assistente abbia sbagliato a scrivere una $y$ di troppo dato che ho già la $y$ in funzione della $x$. Valutando così l'esercizio allora segue
$\int_ {x^2/9}^ {x^2/3} dy \int_ {1/2}^ {2} 1/(x^6) log ((x^4-y^2)/(x^5y)) dx$ così risolvo il secondo integrale in $x$ ottenendo poi una funzione in $y$ che risolverò con il secondo integrale.
Secondo voi si procede così?
# Data la funzione $f: RR^2 \to RR$ definita dalla legge $f(x,y) = \{( xysen(1/(xy)) per xy!=0),(0 per xy =0):}$
1) Provare che $f$ è continua in $RR^2$;
2) Provare che è differenziabile in $(0,0)$ facendo uso della definizione.
Per il punto 1) utilizzo la formula delle funzioni continue, ossia il limite della funzione in un punto deve essere uguale al valore che la funzione assume in quel punto, in formula $lim_((x,y)->(0,0)) (f(x,y))= f(0,0)$ e in questo caso quindi concludo che è continua essendo soddisfatta questa condizione.
Punto 2) ho applicato la definizione di differenziale $df=f'_x(x_0,y_0)dx + f'_y(x_0,y_0)dy$ con $(x_0,y_o)=(0,0)$. Ottengo che $df=0$ e quindi presumo non sia differenziabile...
Ovviamente chiedo scusa se ho scritto corbellerie.
Grazie a tutti, buon venerdì!
eccomi di nuovo quì per chiedervi un aiuto...
Ho preso dei vecchi compiti dati dal mio Prof e tra questi ne ho trovati due che mi lasciano perplessa.
# Calcolare l'integrale $\int_T1/(x^6) log ((x^4-y^2)/(x^5y)) dxdy$ con $T= {(x,y) in RR^2 : x^2/9 <= y <= x^2/3; 1/2 <=xy<=2}$
La seconda parte con $1/2 <=xy<=2$ mi lascia un pò perplessa e credo che in questo caso l'assistente abbia sbagliato a scrivere una $y$ di troppo dato che ho già la $y$ in funzione della $x$. Valutando così l'esercizio allora segue
$\int_ {x^2/9}^ {x^2/3} dy \int_ {1/2}^ {2} 1/(x^6) log ((x^4-y^2)/(x^5y)) dx$ così risolvo il secondo integrale in $x$ ottenendo poi una funzione in $y$ che risolverò con il secondo integrale.
Secondo voi si procede così?
# Data la funzione $f: RR^2 \to RR$ definita dalla legge $f(x,y) = \{( xysen(1/(xy)) per xy!=0),(0 per xy =0):}$
1) Provare che $f$ è continua in $RR^2$;
2) Provare che è differenziabile in $(0,0)$ facendo uso della definizione.
Per il punto 1) utilizzo la formula delle funzioni continue, ossia il limite della funzione in un punto deve essere uguale al valore che la funzione assume in quel punto, in formula $lim_((x,y)->(0,0)) (f(x,y))= f(0,0)$ e in questo caso quindi concludo che è continua essendo soddisfatta questa condizione.
Punto 2) ho applicato la definizione di differenziale $df=f'_x(x_0,y_0)dx + f'_y(x_0,y_0)dy$ con $(x_0,y_o)=(0,0)$. Ottengo che $df=0$ e quindi presumo non sia differenziabile...
Ovviamente chiedo scusa se ho scritto corbellerie.
Grazie a tutti, buon venerdì!
Risposte
"Samy21":
$\int_ {x^2/9}^ {x^2/3} dy \int_ {1/2}^ {2} 1/(x^6) log ((x^4-y^2)/(x^5y)) dx$ così risolvo il secondo integrale in $x$ ottenendo poi una funzione in $y$ che risolverò con il secondo integrale.
Secondo voi si procede così?
L'assistente non ha sbagliato. Oppure, anche ammesso che abbia sbagliato a trascrivere la formula, cosa ce ne importa ?
La possiamo risolvere lo stesso no ?
Cos'è $xy=1$ ? Una i..... E' un'oggetto neanche troppo difficile da capire, e secondo me lo sai cos'è.
A questo punto prendi un pezzo di carta e disegni $y=2/x, y=1/(2x), y=(x^2)/9, y=(x^2)/3$
Quindi dovresti riuscire a vedere l'area di integrazione.
Poi l'integrale credo che si risolva con GaussGreen, dopo qualche manipolazione....credo...
Samy ciò che devi applicare è la definizione di "differenziabilità" non quella di differenziale.
Grazie per aver risposto!
E' un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti se non sbaglio..
Ouch, hai ragione! Li ho sempre confusi..
La dimostrazione della continuità è giusta?
"Quinzio":
Cos'è $xy=1$ ?
E' un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti se non sbaglio..
"paolotesla91":
Samy ciò che devi applicare è la definizione di "differenziabilità" non quella di differenziale.
Ouch, hai ragione! Li ho sempre confusi..
La dimostrazione della continuità è giusta?
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