Integrale doppio

[lollonwe]

Buongiorno a tutti,
vorrei chiedere se mi potete aiutare a risolvere questo integrale doppio:
$\int_A \sqrt{2-x^2-y^2} dxdy$
su $A=\{ (x,y)\in \mathbb(R^2), x^2+y^2<=2, x+y<=1\}$;
la mia difficoltà sta nel fatto che non riesco a trovare un cambiamento di variabile opportuno;
l'esercizio che mi è stato dato era in realtà in $\mathbb(R^3)$, e chiedeva di calcolare l'area di B che era una
semisfera superiore di raggio $\sqrt{2}$ centrata nell'origine che si interseca col piano $x+y<=1$.
Ringrazio in anticipo

[_prime_number]

Il piano sarà $x+y=1$ non $x+y\leq 1$ immagino, altrimenti è un semispazio, non un piano.
Ti faccio notare una cosa: $x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy=1-2xy$ dato che $x+y=1$.

Paola

[enr87]

hai provato con le coordinate polari?
resta però sempre da chiarire il dubbio che ti ha detto prime_number, riporta bene il testo del problema iniziale

[lollonwe]

avete ragione.. è il semispazio...$x+y<=1$. l'esercizio di partenza chiedeva di calcolare il volume che si ottiene intersecando una sfera con raggio $\sqrt{2}$ centrata nell'origine, con i semispazi $z>=0$ e $x+y<=1$. e io ho impostato l'esercizio come vi ho detto, non mi veniva in mente altro.. avete qualche consiglio?

[enr87]

ok, allora io proverei così: innanzitutto dobbiamo parametrizzare il dominio di integrazione, che ti ricordo è dato dai due vincoli z > 0, x+y < 1, e da x^2 + y^2 + z^2 = 2. quindi scriviamo per bene: $D = {(x,y,z)| z >= 0, x+y <= 1, x^2 + y^2 + z^2 <= 2} = {(x,y,z)| x+y <= 1, 0 <= z <= sqrt(2 - x^2 - y^2), x^2 + y^2 <= 2} $
a questo punto esce esattamente l'integrale che hai scritto sopra, ti rifaccio la domanda: hai provato con le coordinate polari? altrimenti devi sfruttare i domini semplici, che forse è la cosa migliore

[lollonwe]

se intendi $x=\rho \cos\theta$, $y=\rho \sen\theta$ ho provato, e i problemi mi sorgono nel semispazio con x e y; perciò avevo abbandonato questa ipotesi. Considerando di dividere A, allora ero riuscita a calcolare il volume della parte compresa nel terzo quadrante (la più facile), è semplicemente un ottavo di sfera ed infatti integrando ritrovo il valore che avrrei calcolato con la formula per calcolare la sfera, diviso 8. Le altre 2 parti, che tra l'altro sono simmetriche, quindi basta calcolarne una non so proprio come fare.

[enr87]

sì ok. per trovarti il resto sai cosa sono i domini semplici o normali? altrimenti dovresti prima darci un occhio, tanto è una cosa veloce, poi ti spiego come fare. comunque c'è anche una piccola parte nel primo quadrante.

[lollonwe]

no, non so cosa siano, ci guarderò poi ti chiederò aiuto...

[lollonwe]

Ci ho guardato, so cosa sono, ma non mi ricordavo che si chiamavano così; il mio problema è determinare la primitiva di $\sqrt{1-x^2-y^2}$ in $dx$ o $dy$ che sia. Gli estremi dell'integrale penso di riuscire a determinarli tranquillamente.
grazie!

[ciampax]

Se devi integrare

$\int\int\sqrt{1-x^2-y^2}\ dx\ dy$

(non metto gli estremi di integrazione) basta riportare l'integrale a questo $\int\sqrt{a^2-t^2}\ dt$ che si risolve per sostituzione ponendo $t=a\sin\alpha$.