Integrale doppio
Ho grossi problemi con gli estremi di integrazione degli integrali doppi e tripli e non riesco a capire come si fa a determinarli.
Qualcuno è disposto a spiegarmelo?
Magari si può partire da qui:
verificare le seguenti uguaglianze, in ciascuna delle quali $A$ è l'insieme rappresentato in colore giallo nella figura accanto.
$int int_(A) (dxdy)/(x^2+1)=1-log2$
Ora non capisco quali estremi devo prendere per i due integrali...
$int int_(A) (dxdy)/(x^2+1)=int_(0)^(1) dx/(x^2+1) int_(?)^(?)dy$
E' giusto?
Qualcuno è disposto a spiegarmelo?
Magari si può partire da qui:
verificare le seguenti uguaglianze, in ciascuna delle quali $A$ è l'insieme rappresentato in colore giallo nella figura accanto.
$int int_(A) (dxdy)/(x^2+1)=1-log2$
Ora non capisco quali estremi devo prendere per i due integrali...
$int int_(A) (dxdy)/(x^2+1)=int_(0)^(1) dx/(x^2+1) int_(?)^(?)dy$
E' giusto?
Risposte
devi valutare bene dove varia la y...scusami come fai a mettere il grafico?con cosa lo fai?
"matematico91":
devi valutare bene dove varia la y...scusami come fai a mettere il grafico?con cosa lo fai?
se ho chiesto di aiutarmi per la y significa che comunque non ho capito come si fa...comunque ho usato derive per il grafico e poi ho estrapolato l'immagine e caricata qui.
Fissa un valore a caso per [tex]$x \in [0,1]$[/tex], traccia una retta parallela all'asse [tex]$y$[/tex] passante per il valore [tex]$x$[/tex] fissato e guarda quali sono gli estremi del segmento che tale retta stacca su [tex]$A$[/tex]: quelli sono gli estremi tra cui deve variare [tex]$y$[/tex] nell'integrale interno.
"gugo82":
Fissa un valore a caso per [tex]$x \in [0,1]$[/tex], traccia una retta parallela all'asse [tex]$y$[/tex] passante per il valore [tex]$x$[/tex] fissato e guarda quali sono gli estremi del segmento che tale retta stacca su [tex]$A$[/tex]: quelli sono gli estremi tra cui deve variare [tex]$y$[/tex] nell'integrale interno.
Se ho aperto un altro topic è perchè mi servirebbe capire la regola generale, infatti nell'altro avevo chiesto delucidazioni teoriche ed avevo inserito l'esempio per dare un qualcosa di concreto su cui basarsi a coloro che sarebbero stati disposti ad aiutarmi. Magari puoi spiegarmi tu?
La regola generale te l'ho appena detta.
Prova ad applicarla.
Prova ad applicarla.
Quindi considerando $x=1/2$ avrò $int int_(A) (dxdy)/(x^2+1)=int_0^1dx/(x^2+1) int_(-3/4)^(-1)dy$ che deve verificare l'uguaglianza $1-log2$?
Si, però estendendo a tutto l'intervallo delle x hai $\int_0^1 int_(g(x))^(h(x)) f(x,y) dydx$ dove $\g(x)=2x-2$ e $\h(x)=x^2-1$
potresti svolgerlo un attimo? è il primo integrale doppio che faccio e sto facendo un po' di confusione tra la variabile $x$ e la variabile $y$
Dovrei continuare con $int_0^1int_(x^2-1)^(2x-2)(dxdy)/(x^2+1)$ e poi cosa si integra prima?
__________________________________________________ provo a continuare da sola
$int_0^1int_(x^2-1)^(2x-2)(dxdy)/(x^2+1)=int_0^1dx/(x^2+1)int_(x^2-1)^(2x-2)dy=$
$=int_0^1dx/(x^2+1)[y]_(x^2-1)^(2x-2)$
Dovrei continuare con $int_0^1int_(x^2-1)^(2x-2)(dxdy)/(x^2+1)$ e poi cosa si integra prima?
__________________________________________________ provo a continuare da sola
$int_0^1int_(x^2-1)^(2x-2)(dxdy)/(x^2+1)=int_0^1dx/(x^2+1)int_(x^2-1)^(2x-2)dy=$
$=int_0^1dx/(x^2+1)[y]_(x^2-1)^(2x-2)$
$\int_0^1 int_(g(x))^(h(x)) f(x,y) dydx=$
$\=int_0^1 int_(2x-2)^(x^2-1) 1/(x^2+1) dydx=$
$\=int_0^1 1/(x^2+1)((x^2-1)-(2x-2)) dx$ e continui..questo è in una variabile
$\=int_0^1 int_(2x-2)^(x^2-1) 1/(x^2+1) dydx=$
$\=int_0^1 1/(x^2+1)((x^2-1)-(2x-2)) dx$ e continui..questo è in una variabile
ok, allora era corretto il procedimento! grazie mille!
Occhio che però hai invertito le funzioni sulle y..devi fare tra quella sotto e quella sopra!
sì, l'avevo già notato osservando il grafico! gentilissimo/a!
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