Integrale doppio
Salve,
ho un dubbio su questo integrale doppio: ho una funzione
[tex]f(x,y)=\frac{x-2}{(x-2)^2+y^2+1}[/tex] da integrare sui tre quarti del disco di raggio 1 e centro (2,0) (cioè per gli angoli [tex]0 \leq \theta \leq \pi[/tex] e [tex]\frac{3}{2}\pi \leq \theta \leq 2\pi[/tex]), io ho ragionato come segue:
innanzitutto sono passato in coordinate polari, ricordandomi del fatto che il centro della circonferenza è (2,0) (ed è proprio questo il punto sul quale sono in dubbio)
[tex]x=\ 2+\rho\ cos\theta\\
y=\rho\ sin\theta[/tex]
e poi ho sostituito le nuove coordinate alla mia funzione che è diventata
[tex]f(\rho,\theta)= \frac{\rho\ cos\theta}{\rho^2\ cos^2\theta\ +\ \rho^2 sin^2\theta\ +\ 1}=\frac{\rho\ cos\theta}{\rho^2\ +\ 1}[/tex]
e poi sono andato a svolegere l'integrale
[tex]\int_0^1{\int_0^\pi{\frac{\rho\ cos\theta}{\rho^2\ +\ 1}\rho d\rho\ d\theta}+\ \int_0^1{\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi}{\frac{\rho\ cos\theta}{\rho^2\ +\ 1}\rho d\rho\ d\theta}[/tex]
l'integrale in [tex]\theta[/tex] è abbastanza banale, ma l'integrale in [tex]\rho[/tex] diventa
[tex]\int{\frac{\rho^2}{\rho^2+1}d\rho}\ \rightarrow\ \int{(1-\frac{1}{\rho^2+1}) d\rho}\ \rightarrow\ \rho-arctan\rho[/tex]
è giusto secondo voi? mi sembra strano che ad un certo punto devo fare pure la divisione tra polinomi (di solito la mia professoressa dà esercizi molto semplici ...)
grazie mille
ho un dubbio su questo integrale doppio: ho una funzione
[tex]f(x,y)=\frac{x-2}{(x-2)^2+y^2+1}[/tex] da integrare sui tre quarti del disco di raggio 1 e centro (2,0) (cioè per gli angoli [tex]0 \leq \theta \leq \pi[/tex] e [tex]\frac{3}{2}\pi \leq \theta \leq 2\pi[/tex]), io ho ragionato come segue:
innanzitutto sono passato in coordinate polari, ricordandomi del fatto che il centro della circonferenza è (2,0) (ed è proprio questo il punto sul quale sono in dubbio)
[tex]x=\ 2+\rho\ cos\theta\\
y=\rho\ sin\theta[/tex]
e poi ho sostituito le nuove coordinate alla mia funzione che è diventata
[tex]f(\rho,\theta)= \frac{\rho\ cos\theta}{\rho^2\ cos^2\theta\ +\ \rho^2 sin^2\theta\ +\ 1}=\frac{\rho\ cos\theta}{\rho^2\ +\ 1}[/tex]
e poi sono andato a svolegere l'integrale
[tex]\int_0^1{\int_0^\pi{\frac{\rho\ cos\theta}{\rho^2\ +\ 1}\rho d\rho\ d\theta}+\ \int_0^1{\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi}{\frac{\rho\ cos\theta}{\rho^2\ +\ 1}\rho d\rho\ d\theta}[/tex]
l'integrale in [tex]\theta[/tex] è abbastanza banale, ma l'integrale in [tex]\rho[/tex] diventa
[tex]\int{\frac{\rho^2}{\rho^2+1}d\rho}\ \rightarrow\ \int{(1-\frac{1}{\rho^2+1}) d\rho}\ \rightarrow\ \rho-arctan\rho[/tex]
è giusto secondo voi? mi sembra strano che ad un certo punto devo fare pure la divisione tra polinomi (di solito la mia professoressa dà esercizi molto semplici ...)
grazie mille
Risposte
a occhio mi pare giusto, ma non vedo divisioni tra polinomi comunque: quando hai una funzione del tipo $t/(t+1)$ e simili, basta che aggiungi e togli 1 al numeratore, e le cose si semplificano
La divisione l'ho dovuta fare quando mi sono trovato di fronte a
[tex]\frac{\rho^2}{\rho^2+1}[\tex], mi aspetta o un più semplice logaritmo, piuttosto che una soluzione con un arcotangente, comunque va bene così:-) grazi...
[tex]\frac{\rho^2}{\rho^2+1}[\tex], mi aspetta o un più semplice logaritmo, piuttosto che una soluzione con un arcotangente, comunque va bene così:-) grazi...
ti ho detto, bastava aggiungere e togliere 1 al numeratore e non c'era bisogno di fare divisioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo