Integrale doppio

[enzo818]

ciao, ho un problema con questo integrale doppio:
$ int int_(A) y/((1+x)(1+y^2)) \ dx \ dy $

dove A= $ {(x,y)|0<=x<=1; x^(1/2) <=y<=1 } $

ho cominciato a svolgerlo in questo modo:
$ int_(0)^(1) $ $ int_(x^(1/2))^(1) y/((1+x)(1+y^2)) dy $

ma ora per l'integrale in dy non so come procedere... è consigliabile sviluppare il prodotto al denominatore? o usare la scomposizione di Hermite? ma poi non mi trovo per il fatto che abbiamo la x nell'integrale e non saprei come comportarmi... mi potete aiutare per favore? grazie

[gugo82]

Rifletti sul ruolo della variabile rispetto alla quale non stai integrando.

[enzo818]

la variabile x ( che non sto' integrando ) è fin ora una costante...o mi sbaglio?

[Angelo D.1]

Esatto, e da buona costante, va fuori dal segno di integrale senza fare tante storie..

[enzo818]

cioè posso procedere in questo modo?

$ int int_(A) y/((1+x)(1+y^2)) \ dx \ dy $

$ int_(0)^(1) $ $ int_(x^(1/2))^(1) y/((1+x)(1+y^2)) dy $

$ int_(0)^(1) 1/(1+x) dx $ $ int_(x^(1/2))^(1) y/((1+y^2)) dy $

ed andare avanti cosi'?

[Angelo D.1]

Diciamo di sì, risolvi prima in [tex]dy[/tex], l'integrale è facile in se', quello che ottiene poi magari è un pò più macchinoso ma non è impossibile.

[enzo818]

quindi vado ad integrare

$ int_(x^(1/2))^(1) y/((1+y^2)) dy $

ed ho

$ 1/2 int_(x^(1/2))^(1) 2y/((1+y^2)) dy $

che diventa

$1/2 [log ( 1+y^2)]$ tra x^(1/2) e 1.

quindi avremo $ 1/2 (log2- log(1-(x^1/2))$ e cominciamo a sviluppare in dx

$ 1/2 int_(0)^(1) (log2-log(1-x^(1/2)))/(1+x) dx $ e ora? non riesco ad andare avanti...