Integrale doppio

[crg1]

Salve, ho provato a risolvere questo integrale doppio e vorrei capire se il procedimento da me usato è corretto o meno:

$\int_{D} x^2 dx dy$

dove

$D = { (x, y) ; x^2+4y^2<=4, -x(sqrt(3))<=6y<=x^2 }$

E nella prima disequazione si ha un ellisse, se non vado errato. Come faccio a determinare se il dominio è normale rispetto a uno dei due assi? Mi immagino che la y sia compresa tra i valori assunti dalla funzione retta e la funzione parabola $ -x(sqrt(3))/6$ e $x^2$ , ma non riesco a capire il concetto in sé: la y deve essere compresa tra i valori delle due funzioni, per ogni x che è nell'intervallo dato dalla prima disequazione?

Supposto che sia normale rispetto x: tramite le formule di riduzione, l'integrale diviene

$\int_-1^1 (\int_[-x(sqrt(3))/6]^[x^2/6] x^2dy) dx$ ?

Non ho i risultati per confermare i miei tentativi. Grazie in anticipo.

[crg1]

Se ho ben capito un dominio è normale, per esempio rispetto all'asse x, quando la x è compresa tra due estremi, e la y tra due funzioni di x, sempre che una sia sempre minore dell'altra.

Nel dominio c'è scritto $x^2 + 4y^2 <= 4$ : ha senso dire che $x^2 <= -4y^2 +4$, quindi $-1< x < +1$ ? O non è così semplice? Come dovrei procedere per rendere il dominio normale rispetto a uno degli assi?

[enr87]

hai provato a disegnare il dominio? ti semplifica parecchio la vita

[Gmork]

"crg": e la y tra due funzioni di x, sempre che una sia sempre minore dell'altra.

ma anche continue

[crg1]

Il dominio dovrebbe essere:



Dal dominio

$D = { (x, y) ; x^2+4y^2<=4, -x(sqrt(3))<=6y<=x^2 }$

ho ricavato un ellisse dalla prima disequazione, e nella seconda ho diviso tutto per 6, quindi ho disegnato la retta $-x(sqrt(3))/6$ e la parabola $x^2/6$. Da ciò si evince che

$-x(sqrt(3))/6 <= y <= x^2/6$

solo quando (EDIT: ho modificato la diseguaglianza che segue, ché era sbagliata)

$-sqrt(3) >= x >= 0$: quindi immagino che il dominio ricada solo nell'area interna tra la parabola e la retta quando x è positivo. Come trovare ora gli estremi di integrazione?
Se lo considerassi normale a x, dovrei trovare due funzioni di x in cui siano compresi tutti i valori di y: le ho già, sono la retta e la parabola descritte prima, ma per ogni y, l'intervallo della x varierebbe ogni volta.
Se fosse normale a y, devo trovare due funzioni di y in cui siano compresi tutti i valori di x: la retta $x=0$ e l'arco dell'ellisse $x=sqrt(-4y^2+4)$ ; e la y in quale intervallo starebbe?

[enr87]

intanto ci mettiamo d'accordo sulla terminologia. per me dire che un dominio è normale rispetto ad y significa che la y è compresa tra due funzioni della x continue. quali? bhè, chiamiamo $P_1 = (x_1, y_1), \ P_2 = (x_2, y_2) $, rispettivamente, i punti ad ascissa positiva in cui la parabola e la retta intersecano l'ellisse. allora puoi suddividere in più domini semplici:
$-x sqrt(3)/6
invece, per $x_1

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[crg1]

Ho capito, quindi si può spezzare il dominio in più parti e poi fare la somma dei vari integrali.

Se $x_1 < x < 2$, la y dovrebbe essere limitata dai due tratti di ellisse del primo e del quarto quadrante, quindi, da $x^2 +4y^2 =4$ risulta $y = sqrt(-x^2/4 +1)$, quindi da $sqrt(-x^2/4 +1)$ e da $-sqrt(-x^2/4 +1)$ (è tutto sotto radice).

$x_1 = x_2$? Posto $x^2/6 = sqrt(-x^2/4 +1)$ e $-x*sqrt(3)/6 = -sqrt(-x^2/4 +1)$, entrambi danno come soluzione $sqrt(3)$, quindi sì.

A questo punto dovrei spezzare il dominio in:

$D_1 = {(x,y) : 0 <= x <= sqrt(3), -x(sqrt(3))/6 <= y <= x^2/6}$

e

$D_2 = {(x,y) : sqrt(3) <= x <= 2, -sqrt( (-x^2/4) + 1) <= y <= sqrt( (-x^2/4) + 1) }

e poi calcolare gli integrali

$\int_0^sqrt(3)(\int_(-x*sqrt(3)/6)^(x^2/6) x^2 dy) dx + \int_(sqrt(3))^(2)(\int_(-sqrt( (-x^2/4) + 1))^(sqrt( (-x^2/4) + 1)) x^2 dy) dx$

cioè

$\int_0^sqrt(3) x^2(x^2/6 + x*sqrt(3)/6) dx + \int_(sqrt(3))^(2) x^2(2*sqrt(-x^2/4 + 1)) dx$

e poi si integra... è giusto come procedimento?

[enr87]

a occhio mi pare corretto, comunque se hai dubbi puoi cercarne altri già svolti sul forum.. ce ne sono a bizzeffe