Integrale doppio

[dark.hero]

Ciao a tutti. ho un problema con questo integrale doppio
$ int int_(T)^() [y^2sin(x) + 7(x+y)/(x^2+y^2)] dx dy $
dove $T$ è la semicorona circolare di centro $ (0,0) $ e raggi $2$ e $3$ situata nel semipiano delle ordinate positive.

Passo in coordinate polari $ x = rcos(beta) $ , $ y = rsin(beta) $ con $0<=beta<=pi$ , $2<=r<=3$

sostituisco in $ y^2sin(x) + 7(x+y)/(x^2+y^2) $ e ottengo dopo pochi passaggi

$ r^2sin^2(beta)sin(rcos(beta)) + 7(cos(beta)+sin(beta))/r $

$ int_(0)^(pi) int_(2)^(3) [r^2sin^2(beta)sin(rcos(beta)) + 7(cos(beta)+sin(beta))/r ]r dr dbeta = $
$ int_(0)^(pi) int_(2)^(3) [r^3sin^2(beta)sin(rcos(beta)) + 7(cos(beta)+sin(beta)) ] dr dbeta = $
$ int_(0)^(pi) int_(2)^(3) [r^3sin^2(beta)sin(rcos(beta))] dx dy + int_(0)^(pi) int_(2)^(3) [7(cos(beta)+sin(beta)) ] dr dbeta $

fin qui è corretto? non riesco proprio a capire come risolvere il primo integrale!

[Rigel1]

Sarà mica che il primo integrale $\int \int_T y^2 \sin (x) dx dy$ è nullo per questioni di simmetria?

[dark.hero]

scusa puoi spiegarti meglio?

[Rigel1]

Considera la simmetria rispetto all'asse delle $y$: $S(x,y) = (-x, y)$.
Il dominio $T$ è invariante rispetto a questa simmetria, vale a dire $(x,y)\in T <=> S(x,y) \in T$.
La funzione $f(x,y) = y^2 \sin(x)$ è dispari rispetto alla simmetria $S$, vale a dire $f(S(x,y)) = - f(x,y)$ per ogni $(x,y)\in T$.
Di conseguenza l'integrale è nullo.

Detto più terra terra: se indichi con $T^{+} = T\cap \{x\ge 0\}$ e con $T^{-} = T\cap \{x\le 0\}$, allora $\int\int_{T^{+}} f = -\int\int_{T^{-}} f$, e di conseguenza $\int\int_T f = 0$.

[dark.hero]

grazie!