Integrale doppio
Sia B l'insieme racchiuso da due circonferenze,la prima di centro$C_1=(0,1/2)$ e raggio $r_1=1/2$ e la seconda di centro $C_2=(0,sqrt2/4)$ e raggio $r_2= sqrt2/4$
calcolare $intint(|x|e^(sqrt(x^2+y^2)))/(x^2+y^2)dxdy
allora...il primo cerchio con centro $(0,0)$ avrà coordinate polari tali che $0<=rho<=sentheta$, e angolo $theta$ compreso tra $0$ e $pi$ oppure tra $-pi/2$ e $pi/2$(PRIMO DUBBIO)(secondo me $0<=theta<=pi$ )
analogo dubbio per il secondo cerchio
il secondo dubbio è..visto che nell'integrale c'è il modulo di x,devo calcolare prima l'integrale con x positivo e poi per x negativo?
calcolare $intint(|x|e^(sqrt(x^2+y^2)))/(x^2+y^2)dxdy
allora...il primo cerchio con centro $(0,0)$ avrà coordinate polari tali che $0<=rho<=sentheta$, e angolo $theta$ compreso tra $0$ e $pi$ oppure tra $-pi/2$ e $pi/2$(PRIMO DUBBIO)(secondo me $0<=theta<=pi$ )
analogo dubbio per il secondo cerchio
il secondo dubbio è..visto che nell'integrale c'è il modulo di x,devo calcolare prima l'integrale con x positivo e poi per x negativo?
Risposte
ma "racchiuso" significa intersezione o unione?
E perché dici che il primo cerchio ha centro [tex](0,\frac{1}{2})[/tex] e dopo dici [tex](0,0)[/tex]?
Non ho proprio capito il primo dubbio...
Comunque al secondo dubbio posso già rispondere.
Se hai intenzione di passare a coordinate polari (il che mi pare sensato) [tex]|x|= r |cos\theta|[/tex]
e quindi potrai calcolare solo il doppio dell'integrale con il coseno positivo (dato che il dominio ha simmetria rispetto all'asse y)
E perché dici che il primo cerchio ha centro [tex](0,\frac{1}{2})[/tex] e dopo dici [tex](0,0)[/tex]?
Non ho proprio capito il primo dubbio...
Comunque al secondo dubbio posso già rispondere.
Se hai intenzione di passare a coordinate polari (il che mi pare sensato) [tex]|x|= r |cos\theta|[/tex]
e quindi potrai calcolare solo il doppio dell'integrale con il coseno positivo (dato che il dominio ha simmetria rispetto all'asse y)
naturalmente si parla di un intersezione. perchè essendo il cerchio piu piccolo incluso nell'altro avrebbe poco senso parlare di unione..il primo cerchio ha centro $(0,1/2)$,uso le coordinate polari in modo da riscriverlo come un cerchio passante per l'origine..mi spiego meglio..per il primo cerchio,al posto di parametrizzare ${(x=rhocostheta),(y=1/2+rhosentheta):}$ con $0<=theta<=2pi$ e $0<=rho<=1/2$
ho ${(x=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$ con $0<=theta<=pi$ e $0<=rho<=sentheta$..
il dubbio è per quali valori è compreso $theta$
ho ${(x=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$ con $0<=theta<=pi$ e $0<=rho<=sentheta$..
il dubbio è per quali valori è compreso $theta$
"piccola88":
naturalmente si parla di un intersezione. perchè essendo il cerchio piu piccolo incluso nell'altro avrebbe poco senso parlare di unione..
Mah, perché? Allora, secondo questa logica, ha poco senso anche parlare di intersezione visto che basta considerare il secondo cerchio...
Il fatto è che "racchiuso" non ha un significato definito in matematica, volevo solo fartelo notare.
Ma non puoi parametrizzare con il secondo cerchio, visto che è su quello che devi integrare?
Io userei coordinate polari con centro [tex]\frac{\sqrt 2}{4}[/tex]
forse non hai capito il dominio..se provi a disegnare le due circonferenze ,vedi che il dominio è una specie di luna
Non ha capito il dominio perchè tu avevi detto diversamente. Il dubbio di Fox è ovviamente lecito, ed avrebbe assolutamente senso un dominio dato dall'unione di più circonferenze o figure generiche.
...essendo un cerchio incluso nell'altro la loro intersezione dà proprio il cerchio incluso.
Quella a cui tu ti riferisci non è intersezione ne unione: è differenza. Prima di chiedere aiuto per favore non dare per scontato niente, altrimenti, oltre a perdere tempo tu, lo fai perdere a quelli che cercano di aiutarti, il che non è molto carino.
Ti consiglierei di ripassare la teoria degli insiemi.
Per il tuo problema:
[asvg]axes(2,2, "labels", 2, 2, "grid"); // visualizza gli assi
fill="red"; // seleziona il colore rosso
circle( [0,1/2], 1/2 );
fill="white";
circle( [0, 0.35355339], 0.35355339 );[/asvg]
se il dominio è quella differenza, $\theta$ deve essere tale che il raggio si muova tra i punti di intersezione delle due circonferenze. Dato che queste sono tangenti, $0 <= \theta <= 2pi$
naturalmente si parla di un intersezione. perchè essendo il cerchio piu piccolo incluso nell'altro
...essendo un cerchio incluso nell'altro la loro intersezione dà proprio il cerchio incluso.
forse non hai capito il dominio..se provi a disegnare le due circonferenze ,vedi che il dominio è una specie di luna
Quella a cui tu ti riferisci non è intersezione ne unione: è differenza. Prima di chiedere aiuto per favore non dare per scontato niente, altrimenti, oltre a perdere tempo tu, lo fai perdere a quelli che cercano di aiutarti, il che non è molto carino.
Ti consiglierei di ripassare la teoria degli insiemi.
Per il tuo problema:
[asvg]axes(2,2, "labels", 2, 2, "grid"); // visualizza gli assi
fill="red"; // seleziona il colore rosso
circle( [0,1/2], 1/2 );
fill="white";
circle( [0, 0.35355339], 0.35355339 );[/asvg]
se il dominio è quella differenza, $\theta$ deve essere tale che il raggio si muova tra i punti di intersezione delle due circonferenze. Dato che queste sono tangenti, $0 <= \theta <= 2pi$
si ok scusate per prima....io volevo sapere il valore di $rho$ nel caso in cui si applica il metodo di rappresentare il cerchio nelle coordinate polari di centro nell'origine..
in un altro esercizio con una circonferenza di centro $(x_0,0)$ e raggio r,avevo:
${(x=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$ con $-pi/2<=theta<=pi/2$ e $0<=rho<=costheta$..
...
vorrei sapere nel caso generale se in una circonferenza di centro$(0,y_0)$ e raggio r è giusto parametrizzare:
${(x=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$ con $0<=theta<=pi$ e $0<=rho<=sentheta$..
in un altro esercizio con una circonferenza di centro $(x_0,0)$ e raggio r,avevo:
${(x=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$ con $-pi/2<=theta<=pi/2$ e $0<=rho<=costheta$..
...
vorrei sapere nel caso generale se in una circonferenza di centro$(0,y_0)$ e raggio r è giusto parametrizzare:
${(x=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$ con $0<=theta<=pi$ e $0<=rho<=sentheta$..
Mmm... quell'insieme di definizione è abbastanza tosto. Ci ho pensato un pò, e dato che non è parallelo rispetto ad alcun asse, la risoluzione algebrica non è conveniente... Tuttavia con quella polare incappiamo in alcuni ostacoli.
Intanto, sarebbe utile traslare il piano ponendo nuova origine al centro della circonferenza più piccola. Così sappiamo già per certo che $0 <= \theta <= 2pi$, mentre il $rho$ è sicuramente maggiore del raggio della circonferenza minore.
L'estremo superiore del raggio si trova sostituendo all'equazione della seconda circonferenza le coordinate del nuovo piano considerato, e poi quelle polari. Ti verrà una disequazione di $rho$ in $sin\theta$.. Prova a procedere su questa strada e vedi se ti spunta fuori qualcosa di piacevole.
Intanto, sarebbe utile traslare il piano ponendo nuova origine al centro della circonferenza più piccola. Così sappiamo già per certo che $0 <= \theta <= 2pi$, mentre il $rho$ è sicuramente maggiore del raggio della circonferenza minore.
L'estremo superiore del raggio si trova sostituendo all'equazione della seconda circonferenza le coordinate del nuovo piano considerato, e poi quelle polari. Ti verrà una disequazione di $rho$ in $sin\theta$.. Prova a procedere su questa strada e vedi se ti spunta fuori qualcosa di piacevole.
Due osservazioni veloci, che devo scappare: 1) la funzione integranda è simmetrica rispetto a tutti e due gli assi e rispetto all'origine... per cui vi basta limitarvi al calcolo nel primo quadrante e moltiplicare per due; 2) ma integrare come differenza sulle due circonferenze no, eh? (Uno si va a complicare la vita inutilmente quando le cose sono facili facili...)
Dai pater, ora spiega per bene come si fa.
Dai pater, ora spiega per bene come si fa.
Se ti dico che ci avevo pensato e poi l'ho dimenticato non mi credi vero? 
Ahahah quello che ( il grande ) ciampax vuole dire è che, per una proprietà degli integrali, vale:
$\Omega = \Omega_1 U \Omega_2$ misurabili, $f(x) in L(\Omega)$,
$int_{\Omega_1} f(x)dx = int_\Omega f(x)dx - int_{\Omega_2} f(x)dx$
Ovvero ti calcoli l'integrale della funzione su tutto l'interno della circonferenza esterna, e poi a questo valore sottrai l'integrale della funzione sulla circonferenza interna.
Ahahah quello che ( il grande ) ciampax vuole dire è che, per una proprietà degli integrali, vale:
$\Omega = \Omega_1 U \Omega_2$ misurabili, $f(x) in L(\Omega)$,
$int_{\Omega_1} f(x)dx = int_\Omega f(x)dx - int_{\Omega_2} f(x)dx$
Ovvero ti calcoli l'integrale della funzione su tutto l'interno della circonferenza esterna, e poi a questo valore sottrai l'integrale della funzione sulla circonferenza interna.
si ma a questo sinceramente l'avevo giapensato, solo che avevo quel dubbio sulla parametrizzazione che non mi avete detto se va bene:)
Le condizioni che determinano i due domini sono entrambe del tipo [tex]$x^2+(y-\alpha)^2\leq\alpha^2$[/tex] (in entrambi i casi l'ordinata del centro e il raggio coincidono. La disequazione precedente diventa [tex]$x^2+y^2-2\alpha y\leq 0$[/tex]. Ora considerando una trasformazione in coordinate polari centrate nell'origine [tex]$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$[/tex] e prendendo in considerazione, come dicevo prima, solo i punti del primo quadrante (per cui [tex]$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$[/tex], la condizione su [tex]$\rho$[/tex] diviene
[tex]$\rho^2-2\alpha\rho\sin\theta\leq 0$[/tex]
e quindi, tenuto conto che per [tex]$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$[/tex] si ha [tex]$\sin\tehat\geq 0$[/tex], si ha
[tex]$0\leq\rho\leq 2\alpha\sin\theta$[/tex]
[tex]$\rho^2-2\alpha\rho\sin\theta\leq 0$[/tex]
e quindi, tenuto conto che per [tex]$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$[/tex] si ha [tex]$\sin\tehat\geq 0$[/tex], si ha
[tex]$0\leq\rho\leq 2\alpha\sin\theta$[/tex]
ok,capito..grazie mille per la spiegazione.
Prego.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo