Integrale doppio
Salve a tutti, vorrei per favore un aiuto con questo integrale doppio.
Calcolare $ int int_D |x-y|(ln (x^2+y^2))/(x^2+y^2)" d"x "d"y $
dove $D=\{ (x,y) in RR^2 : 1<=x^2+y^2<=2 \}
Ora io ho disegnato il grafico del dominio e mi è venuto fuori una corona circolare. Ho pensato quindi di fare un cambio di variabili e di descrivere il dominio in cordinate polari.
$ \{ ( x= rho cos theta),(y = rho sin theta) :} $
Visto che nell'integrale c'è il valore assoluto non ho spezzato in 4 parti il dominio, ma ho fatto così (scusatemi se ho una fatto un'assurdità!):
Ho considerato di calcolare l'integrale rappresentato in coordinate polari nel 1° quadrante così da eliminare il valore assoluto però con l'integrale moltiplicato per 4.
Ho considerato di calcolare una sezione di corona circolare, per poi moltiplicarla per 4 per avere l'intera sezione. L'integrale con le cordinate polari che ho ottenuto è il seguente:
$ 4 int_(1)^(sqrt(2)) int_(0)^(pi/2) (rho cos theta - rho sin theta) ((ln(rho^2))/rho^2)(rho)" d"rho "d" theta $
ora però andando avanti mi viene:
$ 4 int_(1)^(sqrt(2)) (ln(rho^2))" d"rho\ int_(0)^(pi/2) ( cos theta - sin theta) " d" theta $
ora però risolvendo il secondo integrale mi viene zero. Volevo quindi sapere se il mio procedimento era giusto, o se no, come voi avreste proceduto.
Grazie
Calcolare $ int int_D |x-y|(ln (x^2+y^2))/(x^2+y^2)" d"x "d"y $
dove $D=\{ (x,y) in RR^2 : 1<=x^2+y^2<=2 \}
Ora io ho disegnato il grafico del dominio e mi è venuto fuori una corona circolare. Ho pensato quindi di fare un cambio di variabili e di descrivere il dominio in cordinate polari.
$ \{ ( x= rho cos theta),(y = rho sin theta) :} $
Visto che nell'integrale c'è il valore assoluto non ho spezzato in 4 parti il dominio, ma ho fatto così (scusatemi se ho una fatto un'assurdità!):
Ho considerato di calcolare l'integrale rappresentato in coordinate polari nel 1° quadrante così da eliminare il valore assoluto però con l'integrale moltiplicato per 4.
Ho considerato di calcolare una sezione di corona circolare, per poi moltiplicarla per 4 per avere l'intera sezione. L'integrale con le cordinate polari che ho ottenuto è il seguente:
$ 4 int_(1)^(sqrt(2)) int_(0)^(pi/2) (rho cos theta - rho sin theta) ((ln(rho^2))/rho^2)(rho)" d"rho "d" theta $
ora però andando avanti mi viene:
$ 4 int_(1)^(sqrt(2)) (ln(rho^2))" d"rho\ int_(0)^(pi/2) ( cos theta - sin theta) " d" theta $
ora però risolvendo il secondo integrale mi viene zero. Volevo quindi sapere se il mio procedimento era giusto, o se no, come voi avreste proceduto.
Grazie
Risposte
Non credo che tu possa farlo. Tu stai supponendo che quella funzione assuma gli stessi valori nei punti simmetrici ( come una doppia simmetria rispetto ad entrambi gli assi ), e questa funzione non mi pare soddisfi tale proprietà.
In particolare, quello che ti da problemi è proprio il termine in valore assoluto. Se consideri infatti i quattro punti: $"("1,1")" "("-1,1")" "("-1,-1")" "("1,-1")" $
In quel punto $\varphi(x,y) = |x-y|$ assume valori differenti:
$\varphi(1,1) = 0$
$\varphi(-1,1) = 2$
$\varphi(-1,-1) = 0$
$\varphi(1,-1) = 2$
Ergo, riparti da:
$ int_1^{\sqrt2} 2 "signum("\rho")" ln\rho d\rho int_0^{2\pi} |cos\theta - sin\theta| d\theta $
In particolare, quello che ti da problemi è proprio il termine in valore assoluto. Se consideri infatti i quattro punti: $"("1,1")" "("-1,1")" "("-1,-1")" "("1,-1")" $
In quel punto $\varphi(x,y) = |x-y|$ assume valori differenti:
$\varphi(1,1) = 0$
$\varphi(-1,1) = 2$
$\varphi(-1,-1) = 0$
$\varphi(1,-1) = 2$
Ergo, riparti da:
$ int_1^{\sqrt2} 2 "signum("\rho")" ln\rho d\rho int_0^{2\pi} |cos\theta - sin\theta| d\theta $
Sul mio libro di esercizi marcellini-sbordone un esercizio simile lo risolve facendo le mie stesse considerazioni, eliminando il valore assoluto e moltiplicando di una quantità per quanto si considera il dominio simmetrico e lo si spezza, perciò ho pensato di poterlo applicare anche in questo caso, caso che forse non è adatto.
Cmq non capisco come poter eliminare quel valore assoluto, se non spezzando, al max, in quattro integrali per ogni sezione da considerare. Alla fin fine, però mi viene sempre zero, fatto che mi pensare che il risultato giusto, alla fine, sia prop questo.
Cmq non capisco come poter eliminare quel valore assoluto, se non spezzando, al max, in quattro integrali per ogni sezione da considerare. Alla fin fine, però mi viene sempre zero, fatto che mi pensare che il risultato giusto, alla fine, sia prop questo.
La simmetria della funzione è relativa all'origine.
"zakato":
Alla fin fine, però mi viene sempre zero, fatto che mi pensare che il risultato giusto, alla fine, sia prop questo.
Potresti mostrarmi i passaggi?
"ciampax":
La simmetria della funzione è relativa all'origine.
Ed in questo caso è possibile spezzare in quel modo l'integrale?
A mano a me viene che l'integrale è pari a $ 2(\sqrt{2}(ln2/2 -1 ) +1 )" "\cdot" "2\sqrt(2) $
La prima parte è relativa all'integrale in $\rho$, la seconda quella in $\theta$.
PS: ovviamente avevo dimenticato che $"signum" \rho = 1$ per definizione.
La prima parte è relativa all'integrale in $\rho$, la seconda quella in $\theta$.
PS: ovviamente avevo dimenticato che $"signum" \rho = 1$ per definizione.
pater46 mi potresti far vedere come risolvi l'integrale con il valore assoluto, per il resto io mi trovo con te, però voglio vedere come hai spezzato l'integrale con il valore assoluto.
Comincia con l'osservare che $cosx-sinx > 0 -> \theta in [3/4\pi, 0] \cup [0, \pi/4]$
Da qui, l'integrale diventa:
$int_0^{\pi/4} cos\theta - sin\theta d\theta + int_{3/4\pi}^{2\pi} cos\theta - sin\theta d\theta + int_{\pi/4}^{3/4\pi} sin\theta - cos\theta d\theta = $
$[sinx + cosx]_0^{\pi/4} + [sinx + cosx]_{3/4\pi}^{2\pi} + [sin\theta - cos\theta]_{\pi/4}^{3/4\pi}$
Ora.. Dopo aver fatto un paio di conti resti con
$ 2cos(\pi/4) - 2cos(3/4\pi) = 4 cos( \pi/4 ) = 4 \sqrt{2}/2 = 2\sqrt{2}$
Da qui, l'integrale diventa:
$int_0^{\pi/4} cos\theta - sin\theta d\theta + int_{3/4\pi}^{2\pi} cos\theta - sin\theta d\theta + int_{\pi/4}^{3/4\pi} sin\theta - cos\theta d\theta = $
$[sinx + cosx]_0^{\pi/4} + [sinx + cosx]_{3/4\pi}^{2\pi} + [sin\theta - cos\theta]_{\pi/4}^{3/4\pi}$
Ora.. Dopo aver fatto un paio di conti resti con
$ 2cos(\pi/4) - 2cos(3/4\pi) = 4 cos( \pi/4 ) = 4 \sqrt{2}/2 = 2\sqrt{2}$
pater46 grazie mille dell'aiuto!! A finale era una cosa semplice( e io che credevo bisognava fare chissà cosa!!) Grazie mille per l'aiuto e la pazienza concessami.
Grazie ancora, ciao
Grazie ancora, ciao
Se la simmetria è fatta rispetto all'origine nel piano questo vuol dire che $f(-x,-y)=f(x,y)$. Puoi allora spezzare l'integrale in questo modo
[tex]$\int_D=2\left(\int_{D_1}+\int_{D_2}\right)$[/tex]
dove $D_1,\ D_2$ sono, rispettivamente, le intersezioni del dominio con il primo e secondo quadrante.
[tex]$\int_D=2\left(\int_{D_1}+\int_{D_2}\right)$[/tex]
dove $D_1,\ D_2$ sono, rispettivamente, le intersezioni del dominio con il primo e secondo quadrante.
Scusate, ma non capisco come avete risolto il primo integrale per p. Più che altro non capisco come avete tolto p dal valore assoluto e quel signum, non so' cos'è.
Se mi potete spiegare come lo avete risolto. Grazie mille, ciao
Se mi potete spiegare come lo avete risolto. Grazie mille, ciao
Per definizione:
$ "signum" x := { ( |x|/x " per "x != 0 ),( 0 " per "x=0 ):} $
L'integrale $int \rho drho$ si risolve per parti
$ "signum" x := { ( |x|/x " per "x != 0 ),( 0 " per "x=0 ):} $
L'integrale $int \rho drho$ si risolve per parti
quindi vuoi dire che p = signum(p)|p|, ergo $ |p|=p /( signum(p)) $?
quindi l'integrale non dovrebbe essere
$ int_( )^( ) lnp/(signum(p)) $ ?
quindi l'integrale non dovrebbe essere
$ int_( )^( ) lnp/(signum(p)) $ ?
La funzione signum f(x) in pratica ti da 1 per valori positivi, -1 per valori negativi. In pratica per definizione, $\rho >0$ in quanto raggio, dunque $ "signum "\rho$ vale sempre 1. l'integrale sarebbe:
$ int ln\rho d\rho$
$ int ln\rho d\rho$
Scusa se ti sto rompendo sempre per questo fatto, ma voglio essere sicuro di aver capito bene.
allora $ |p(cos theta - sin theta) | $ diventa $|p||cos theta - sin theta | $, quindi $ p signum(p) |cos theta - sin theta| $ , giusto?
Allora l'integrale diventa $ int_( )^( ) 2 log p dp $ poichè come hai detto signum diventa 1. E da qui poi è facile, mi puoi confermare se ho capito bene? grazie.
allora $ |p(cos theta - sin theta) | $ diventa $|p||cos theta - sin theta | $, quindi $ p signum(p) |cos theta - sin theta| $ , giusto?
Allora l'integrale diventa $ int_( )^( ) 2 log p dp $ poichè come hai detto signum diventa 1. E da qui poi è facile, mi puoi confermare se ho capito bene? grazie.
Si. Tuttavia già il ragionamento sul segno si poteva fare prima, all'uscire il $\rho$ dal valore assoluto, si poteva omettere il valore assoluto direttamente, in quanto quantità positiva.
Cmq pater46 se mi conformi quello che ho detto, non mi trovo però con il risultato che ottieni risolvendo il primo integrale:
se il primo integrale alla fine viene $ 2 int_( )^( ) ln p $ io mi trovo $ [ 1 / p ] $ da sostituire con 1 e $ sqrt(2) $
Alla fine mi trovo risolvendo tutto $ 4 - 4sqrt(2)$. Risultato diverso dal tuo, ma è una svista mia o altro. Scusa se ti chiedo anche questo ma questo integrale mi serviva anche a me.
se il primo integrale alla fine viene $ 2 int_( )^( ) ln p $ io mi trovo $ [ 1 / p ] $ da sostituire con 1 e $ sqrt(2) $
Alla fine mi trovo risolvendo tutto $ 4 - 4sqrt(2)$. Risultato diverso dal tuo, ma è una svista mia o altro. Scusa se ti chiedo anche questo ma questo integrale mi serviva anche a me.
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