Integrale doppio

[Steph90]

Scusate, avrei un problema con gli integrali doppi.
1. $ int_(T) 1/sqrt(x^2+y^2) dxdy $ dove T è la regione limitata compresa fra la prima bisettrice $ x=y $ e la parabola $ y=x^2 $ .
Il mio problema consiste nel capire gli intervalli di integrazione, per il resto ci sono.
In coordinate cartesiane direi che $ 0 <= x <= 1 $ e $ x^2 <= y <= x $. Nella trasformazione in coordinate polari, quali diventano gli integrali di $ rho $ e $ theta $?

2. In quest'altro, $ int_(T) 1/sqrt(x^2+y^2) dxdy $ dove T è la regione del semipiano $ y>=0 $ interna al cerchio unitario centrato nell'origine, ed esterna al cerchio di centro $ (0, 1/2) $ e raggio $ 1/2 $, che $ 0 <= theta <= pi $ vedendo il disegno ad occhio ci si arriva, ma $ theta $ ?

Grazie 1000!

[Suppish]

Direi subito che nel secondo caso p dovrebbe variare tra $ 1 // 2 <= p <= 1 $ dato che sono i raggi delle circonferenze, nel primo caso invece $0 <= Θ<= π//4$

[Steph90]

Per il secondo integrale, se lo svolgo con gli estremi che mi ahi indicato il risultato viene $ pi - 1/2pi $, invece deve venire $ pi - 2 $ .
Potresti invece riscrivere gli estremi per il primo integrale? non si leggono. grazie!

[Suppish]

Dunque
gli estremi di integrazione del primo integrale dopo essere passato alle coord polari sono:
$ 0<=x<=1 $ che diventa $ 0<=p<=1//cos Ꭷ $ ricordando che in coord polari x= pcosᎧ
mentre per l-angolo Ꭷ graficamente puoi intuire che varia tra $0<=Ꭷ<=π/4$

[Steph90]

"Suppish":Dunque
gli estremi di integrazione del primo integrale dopo essere passato alle coord polari sono:
$ 0<=x<=1 $ che diventa $ 0<=p<=1//cos Ꭷ $ ricordando che in coord polari x= pcosᎧ
mentre per l-angolo Ꭷ graficamente puoi intuire che varia tra $0<=Ꭷ<=π/4$

Non risulta neanche questo, a me viene $ ln [tg(3/8pi)] $ , invece deve venire $ sqrt(2)-1 $ . Forse sbaglio io i calcoli?

[nicofabius]

A me il secondo risulta come dici tu facendo la differenza tra l'area del primo semicerchio e l'aria del secondo(che è tutto contenuto nel semipiano y>0). Per il primo cerchio cambiando in coordinate polari ottengo: $ 0