Integrale doppio
Ciao ragazzi ho difficoltà con questo integrale doppio
$f(x,y)=1 D={(x,y): 9x^2+4y^2<=36}$
vi spiego io ho capito che il dominio è la parte di piano compresa nell'ellisse $x^2/4+y^2/9<=1$ però non so impostare gli intervalli in cui derivare x e y, in genere erano già esplicitati nel dominio, ho pensato che la $x$ potrebbe oscillare tra $-2$ e $2$ ma la $y$???
Grazie
$f(x,y)=1 D={(x,y): 9x^2+4y^2<=36}$
vi spiego io ho capito che il dominio è la parte di piano compresa nell'ellisse $x^2/4+y^2/9<=1$ però non so impostare gli intervalli in cui derivare x e y, in genere erano già esplicitati nel dominio, ho pensato che la $x$ potrebbe oscillare tra $-2$ e $2$ ma la $y$???
Grazie
Risposte
L'ellisse ha equazione $x^2/4+y^2/9 = 1 $ : i semiassi sono di lunghezza $2 $ e $3 $ .
Fai un disegno dell'ellisse e vedrai che $-2<=x<=2 ; -3<=y<=3 $ .
PUò essere che per calcolare l'integrale doppio sia conveniente passare a coordinate polari -bisognerebbe vedere qual è la funzione da integrare.
Se $a,b $ sono i semiassi dell'ellisse allora la trasformazione da coordinate rettangolari in polari è data da
$ x= a rho cos theta ; y= b rho sin theta $ con determinante della matrice Jacobiana pari a $ ab rho $.
Fai un disegno dell'ellisse e vedrai che $-2<=x<=2 ; -3<=y<=3 $ .
PUò essere che per calcolare l'integrale doppio sia conveniente passare a coordinate polari -bisognerebbe vedere qual è la funzione da integrare.
Se $a,b $ sono i semiassi dell'ellisse allora la trasformazione da coordinate rettangolari in polari è data da
$ x= a rho cos theta ; y= b rho sin theta $ con determinante della matrice Jacobiana pari a $ ab rho $.
Si era ciò che ho fatto io in partenza ma non avevo il giusto risultato per questo pensavo di aver sbagliato
provo a scrivere il procedimento completo
$\int_{-2}^{2} int_{-3}^{3} 1 dydx = \int_{-2}^{2} (3+3) dx = \int_{-2}^{2} 6 dx = 6(2+2) = 24$ mentre il risultato deve essere $3/2\pi$ per questo pensavo di aver sbagliato intervallo per la $y$
provo a scrivere il procedimento completo
$\int_{-2}^{2} int_{-3}^{3} 1 dydx = \int_{-2}^{2} (3+3) dx = \int_{-2}^{2} 6 dx = 6(2+2) = 24$ mentre il risultato deve essere $3/2\pi$ per questo pensavo di aver sbagliato intervallo per la $y$
"flower78":
$\int_{-2}^{2} int_{-3}^{3} 1 dydx
Questa è l'area del rettangolo che contiene l'ellisse... è vero che $-2 leq x \leq 2$ e $-3 leq y \leq 3$ ma non sono indipendenti...
eh si infatti lo avevo intuito che non sono indipendenti ma appunto non so come legarli 
le coordinate polari mi era stato chiesto come esercizio di non usarle, e la funzione da integrare come ho scritto prima è $f(x,y)=1$
le coordinate polari mi era stato chiesto come esercizio di non usarle, e la funzione da integrare come ho scritto prima è $f(x,y)=1$
Così tu calcoli l'area del rettangolo di lati $4 $ e $6 $ che infatti è $ 24 $ non l'area dell'ellisse....che sarà invece data da
$4*[int_0^2(int_0 ^(sqrt(9-9x^2/4)) dy)dx ]$ sfruttando la simmetria dell'ellisse$ .
Consiglio il passaggio a coordinate polari .
$4*[int_0^2(int_0 ^(sqrt(9-9x^2/4)) dy)dx ]$ sfruttando la simmetria dell'ellisse$ .
Consiglio il passaggio a coordinate polari .
"flower78":
eh si infatti lo avevo intuito che non sono indipendenti ma appunto non so come legarli
"flower78":
$D={(x,y): 9x^2+4y^2<=36}$
Edit, anticipato.
ah ok grazie mille tutto chiaro ora,
se posso approfittare vorrei proporre un altro esempio, questo è più complesso
$f(x,y)=x/(x^2+1)^2 D={(x,y): x>=0,y^2<=1,x^2-3<=y^2<=x^2}$
Ho disegnato l'area interessata, è ovviamente tutta a dx degli assi dove la x è positiva, la mia difficoltà è, una volta disegnato il dominio, sempre capire come scegliere gli intervalli di riferimento, il concetto l'ho capito ma poi non riesco bene a realizzarlo, ad esempio potrei considerare $sqrt(x^2-3)<=y<=sqrt(x)$ e $0<=x<=sqrt(3)$?? ma poi questo riesce ad includere che la $y^2<=1$??
se posso approfittare vorrei proporre un altro esempio, questo è più complesso
$f(x,y)=x/(x^2+1)^2 D={(x,y): x>=0,y^2<=1,x^2-3<=y^2<=x^2}$
Ho disegnato l'area interessata, è ovviamente tutta a dx degli assi dove la x è positiva, la mia difficoltà è, una volta disegnato il dominio, sempre capire come scegliere gli intervalli di riferimento, il concetto l'ho capito ma poi non riesco bene a realizzarlo, ad esempio potrei considerare $sqrt(x^2-3)<=y<=sqrt(x)$ e $0<=x<=sqrt(3)$?? ma poi questo riesce ad includere che la $y^2<=1$??
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