Integrale doppio
Salve a tutti, non riesco a capire una parte di questo esercizio:
Calcolare l'area del pezzo della superficie $z^2=x^2+y^2+1$ contenuto in $0 < z < 2$.
Procedo così:
ricavo che $z=sqrt(x^2+y^2+1)$ e di conseguenza $x^2+y^2<1$ perchè per ipotesi z dev'essere $<2$.
Passo in coordinate polari e dalla disequazione $x^2+y^2<1$ ricavo che l'estremo di integrazione $r$ dovrà essere compreso nell'intervallo $0
Questo punto penso di averlo fatto bene perchè anche nella soluzione del prof gli estremi di integrazione sono uguali ai miei.
Il mio problema è che mentre io pensavo di andare a sostituire le coordinate polari alla funzione $sqrt(x^2+y^2+1)$ lui le sostituisce alla funzione $sqrt(4x^2+4y^2+1)$,
ma da dove salta fuori quel 4 ?? Grazie
Calcolare l'area del pezzo della superficie $z^2=x^2+y^2+1$ contenuto in $0 < z < 2$.
Procedo così:
ricavo che $z=sqrt(x^2+y^2+1)$ e di conseguenza $x^2+y^2<1$ perchè per ipotesi z dev'essere $<2$.
Passo in coordinate polari e dalla disequazione $x^2+y^2<1$ ricavo che l'estremo di integrazione $r$ dovrà essere compreso nell'intervallo $0
Questo punto penso di averlo fatto bene perchè anche nella soluzione del prof gli estremi di integrazione sono uguali ai miei.
Il mio problema è che mentre io pensavo di andare a sostituire le coordinate polari alla funzione $sqrt(x^2+y^2+1)$ lui le sostituisce alla funzione $sqrt(4x^2+4y^2+1)$,
ma da dove salta fuori quel 4 ?? Grazie
Risposte
Scusate la mia insistenza...ma sono bloccato in molti esercizi sempre in questo punto...non riesco a capire come salta fuori quel maledetto 4 
!
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mmh in questo momento neanch' io vedo bene quel passaggio, comunque secondo me una soluzione più veloce, potrebbe essere quella di passare attraverso le coordinate cilindriche. Imponi:
$\{(x = cos\theta),(y = sen\theta),(z = z):}$
Con $\rho = 1$ costante (visto che appunto alla base hai un cerchi di raggio 1)
Sostituisci nella sua superficie iniziale ed ottieni: $E = {(\theta, z) : 1 <= z <= sqrt(2), 0 < \theta < 2\pi}$
Allora, $\theta$ te lo trovi per ovvie ragione, mentre per quanto riguarda z, mi sono sentito di dover mettere 1 come estremo inferiore, visto che per $z < 1$ la superficie non è nemmeno definita.
Quindi in conclusione svolgi l' integrale doppio $\int\int_E dzd\theta = 2\pi(sqrt(2) - 1)$
Spero sia corretto..
$\{(x = cos\theta),(y = sen\theta),(z = z):}$
Con $\rho = 1$ costante (visto che appunto alla base hai un cerchi di raggio 1)
Sostituisci nella sua superficie iniziale ed ottieni: $E = {(\theta, z) : 1 <= z <= sqrt(2), 0 < \theta < 2\pi}$
Allora, $\theta$ te lo trovi per ovvie ragione, mentre per quanto riguarda z, mi sono sentito di dover mettere 1 come estremo inferiore, visto che per $z < 1$ la superficie non è nemmeno definita.
Quindi in conclusione svolgi l' integrale doppio $\int\int_E dzd\theta = 2\pi(sqrt(2) - 1)$
Spero sia corretto..
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