Integrale doppio!

[flower78]

Dato il seguente dominio:
$D={(x,y):1<=x^2/9+(y+2)^2<=4}$
calcolare l'integrale doppio
$\int int xe^y dxdy$

non riesco a capire quale formula di riduzione usare visto che non mi ritrovo in nessun caso di quelli "standard"...
grazie per l'aiuto!

[stefano_89]

Il tuo dominio è un ellisse, per farlo diventare una palla puoi utilizzare le coordinate:
$\{(x = 3\rhocos\theta),(y = -2 + \rhosen\theta):}$

Cosi ottieni una corona circolare di centro l' origine e area compresa tra una palla di raggio 1 e una di raggio 2.

[flower78]

Quindi uso le coordinate polari??? E posso scriverle come voglio??? Pensavo dovessi per forza trasformarle scrivendo
$\{(x = \rhocos\theta),(y = \rhosen\theta):}$
non che potessi anche modificarle aggiungendo termini o moltiplicandoli...

[stefano_89]

"flower78":Quindi uso le coordinate polari??? E posso scriverle come voglio??? Pensavo dovessi per forza trasformarle scrivendo
$\{(x = \rhocos\theta),(y = \rhosen\theta):}$
non che potessi anche modificarle aggiungendo termini o moltiplicandoli...

bè strano che almeno tu non abbia visto che si possono sommare termini, il tuo professore te l' avrà mostrato per centrare le polari in un punto diverso dall' origine. Comunque quando hai un' ellisse, la cosa più conveniente è usare le coordinate ellittiche (quelle che ho scritto prima) per trasformare l' ellisse in un cerchio, o almeno è quello che ci ha sempre detto il prof..

[flower78]

"stefano_89":[quote="flower78"]Quindi uso le coordinate polari??? E posso scriverle come voglio??? Pensavo dovessi per forza trasformarle scrivendo
$\{(x = \rhocos\theta),(y = \rhosen\theta):}$
non che potessi anche modificarle aggiungendo termini o moltiplicandoli...

bè strano che almeno tu non abbia visto che si possono sommare termini, il tuo professore te l' avrà mostrato per centrare le polari in un punto diverso dall' origine. Comunque quando hai un' ellisse, la cosa più conveniente è usare le coordinate ellittiche (quelle che ho scritto prima) per trasformare l' ellisse in un cerchio, o almeno è quello che ci ha sempre detto il prof.. [/quote]ù

eh no purtroppo queste cose non le conoscevo proprio, e neanche negli esempi del libro ci sono, a volte mi chiedo certi libri perché li scrivano....ci sono migliaia di esercizi tutti uguali e quindi impari a fare le cose solo in un certo modo.
la formula generale per le coordinate ellittiche esiste?

[stefano_89]

no, prendono quel nome quando moltiplichi le coordinate per qualche fattore, alla fine puoi tranquillamente chiamarle polari..

[flower78]

ok, e $\theta$ in questo caso come lo calcolo?

[stefano_89]

"flower78":ok, e $\theta$ in questo caso come lo calcolo?

Ti basta sapere che la tua corona circolare è completa, perchè non ci sono altre condizioni in D. quindi hai $1 < \rho < 2$, e $0 < theta < 2\pi$

[flower78]

ok, quindi volendo scrivere poi l'integrale risolutivo sarebbe

$\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}3\rhocos\thetae^(-2+\rhosen\theta)d\rhod\theta$

?????????

[flower78]

ok, quindi volendo scrivere poi l'integrale risolutivo sarebbe

$\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}3\rhocos\thetae^(-2+\rhosen\theta)\rhod\rhod\theta$

?????????




ps scusa il doppio messaggio ma quello di prima non me lo fa cancellare

[stefano_89]

si ma cmq non so che il det della matrice jacobiana sia sempre $\rho$, prova a ricavartelo, magari viene anche qualche costante.
Comunque basta integrare 2 volte per parti per risolvere il primo integrale, poi per quello in $d\theta$ dovrebbe essere simile..

[flower78]

si giusto c'era anche un 3 davanti la matrice è uguale a $3\rho$ se i miei calcoli sono esatti.
Provo a risolvere questo integrale...speriamo bene

un solo dubbio quel $e^(-2+\rhosen\theta)$ diventa $1/e^2e^(\rhosen\theta)$ ora $1/e^2$ posso portarlo fuori dall'integrale ma quando faccio il calcolo dell'integrale per parti quel $sen\theta$ devo considerarlo una costante giusto?? Quindi non devo farne la derivata e farlo diventare coseno.

[flower78]

niente da fare io questo integrale proprio non riesco a risolverlo....