Integrale doppio
L'esercizio mi chiede di calcolare il seguente integrale doppio:
[tex]\displaystyle\iint_{T}(2x-y)(1-2x-y) \, dx\,dy[/tex]
con T triangolo che passa per i seguenti punti [tex]A(0,0), B(1/2,1), C(1,0)[/tex]. Per semplicità ho fatto un cambio di variabile tramite la relazione:
[tex]\left\{ u=2x-y,v=2x+y[/tex]
in questo caso trovo un nuovo dominio rispetto a $(u,v)$, che su un piano è rappresentato dal triangolo che per vertici $A'(0,0), B'(2,2), C'(0,2)$, il quale risulta essere un dominio normale sia rispetto all'asse u sia rispetto all'asse v. Rispetto al primo avremo:
$S={(u,v) in RR^2 : 0<=u<=2, u<=v<=2}$ con il determinante Jacobiano uguale ad $1/4$.
Così l'integrale di partenza è diventato: [tex]\displaystyle\int_{0}^{2} u\, du\displaystyle\int_{u}^{2} (1-v)(1/4)\, dv[/tex]. Ora facendo un pò di calcoli si arriva:
[tex]1/4\displaystyle\int_{0}^{2} u[v-(v^2/2)]_{u}^{2}\, du[/tex] cioè
[tex]1/4\displaystyle\int_{0}^{2} u(-u+u^2/2)\, du = 1/4\displaystyle\int_{0}^{2} (-u^2+u^3/2)\, du = 1/4[-u^3/3+u^4/8]_{0}^{2}[/tex]
[tex]= 1/4(-8/3+16/8) = 1/4(-8/3+2) = -1/6[/tex]
Ma il risultato deve essere $1/6$, e c'era da aspettarselo anche in base alla figura. Vorrei capire dove ho sbagliato, anche perchè è l'unico esercizio sui cambi di variabile che non sono riuscito a finire. Help me!
OT
Se non vi è chiara la spiegazione l'esercizio si trova a pag 210 (marcellini-sbordone esercizi, volume 2 parte 2). Grazie
[tex]\displaystyle\iint_{T}(2x-y)(1-2x-y) \, dx\,dy[/tex]
con T triangolo che passa per i seguenti punti [tex]A(0,0), B(1/2,1), C(1,0)[/tex]. Per semplicità ho fatto un cambio di variabile tramite la relazione:
[tex]\left\{ u=2x-y,v=2x+y[/tex]
in questo caso trovo un nuovo dominio rispetto a $(u,v)$, che su un piano è rappresentato dal triangolo che per vertici $A'(0,0), B'(2,2), C'(0,2)$, il quale risulta essere un dominio normale sia rispetto all'asse u sia rispetto all'asse v. Rispetto al primo avremo:
$S={(u,v) in RR^2 : 0<=u<=2, u<=v<=2}$ con il determinante Jacobiano uguale ad $1/4$.
Così l'integrale di partenza è diventato: [tex]\displaystyle\int_{0}^{2} u\, du\displaystyle\int_{u}^{2} (1-v)(1/4)\, dv[/tex]. Ora facendo un pò di calcoli si arriva:
[tex]1/4\displaystyle\int_{0}^{2} u[v-(v^2/2)]_{u}^{2}\, du[/tex] cioè
[tex]1/4\displaystyle\int_{0}^{2} u(-u+u^2/2)\, du = 1/4\displaystyle\int_{0}^{2} (-u^2+u^3/2)\, du = 1/4[-u^3/3+u^4/8]_{0}^{2}[/tex]
[tex]= 1/4(-8/3+16/8) = 1/4(-8/3+2) = -1/6[/tex]
Ma il risultato deve essere $1/6$, e c'era da aspettarselo anche in base alla figura. Vorrei capire dove ho sbagliato, anche perchè è l'unico esercizio sui cambi di variabile che non sono riuscito a finire. Help me!
OT
Se non vi è chiara la spiegazione l'esercizio si trova a pag 210 (marcellini-sbordone esercizi, volume 2 parte 2). Grazie
Risposte
Anche a me il risultato torna $-1/6$ sia utilizzando il tuo procedimento di sostituzione sia calcolando l'integrale direttamente senza sostituzioni.
io ho provato quasi dieci volte in diversi modi, sia con sostituzione, sia con cambio di variabile rispetto ad entrambi gli assi, e non mi viene. Inizialmente pensavo che avessi sbagliato ad impostare il dominio normale, per questo ho postato il problema qui. Ma mi rimane il dubbio perchè secondo la figura rispetto alla quale sto integrando dovrebbe essere positivo il risultato.
"Lorin":Sei sicuro? A me non pare, infatti la funzione integranda cambia segno nel triangolo. Per esempio in $(0, 0)$ è positiva (vale $+1$) mentre in $(0, 1/2)$ è negativa (vale $-1/4$). Controlla i conti perché potrei facilmente sbagliarmi.
Ma mi rimane il dubbio perchè secondo la figura rispetto alla quale sto integrando dovrebbe essere positivo il risultato.
Ho capito cosa vuoi dire. Forse ho sbagliato ad interpretare l'esericizio, cioè pensavo che il risultato dell'integrale doppio fosse connesso al dominio normale che io andavo a disegnare sul grafico. Nel senso che se la figura sta nel primo quadrante, come in questo caso, allora l'area del cilindroide doveva essere positiva ecc...
Quindi il procedimento che ho postato è giusto?!
Quindi il procedimento che ho postato è giusto?!
"dissonance":Sei sicuro? A me non pare, infatti la funzione integranda cambia segno nel triangolo. Per esempio in $(0, 0)$ è positiva (vale $+1$) mentre in $(0, 1/2)$ è negativa (vale $-1/4$). Controlla i conti perché potrei facilmente sbagliarmi.[/quote]
[quote="Lorin"]Ma mi rimane il dubbio perchè secondo la figura rispetto alla quale sto integrando dovrebbe essere positivo il risultato.
mi trovo anch'io come lorin che viene $-1/6$ però la spiegazione di dissonance è illuminante, solo che almeno io un integrale fatto in coordinate polari e con grafico quello del 3.33 (per chi ha il libro) vedo strano che venga negativo.... quindi mi sorge il dubbio, un integrale fatto in quel modo e con le relative osservazioni di dissonance, 'deve venire negativo'?
(a parte che lo sbordone è pieno zeppo di errori.....)
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