Integrale doppio
ciao a tutti!stamattina mi sono imbattuta in questo esercizio:
sia D il dominio definto da $x^2+4y^2-4y<=0$ calcolare $\int int_D y^2dxdy$. avrei bisogno di una mano.
quello che sono riuscita a concludere è questo
$x^2+4y^2-4y<=0$ $iff$ $x^2+(2y-1)^2<=1$ in questo modo ho una circonferenza di raggio 1 e con centro (0,1/2) e la parte che mi interessa è quella interna ad essa e quindi ottengo $D={(x,y):-1<=x<=1$ e $-1/2<=y<=3/2}$
$\int int_D y^2dxdy=2int_(-1/2)^(3/2)y^2(int_0^1dx)dy$
è giusto quello che ho fatto? vi rigrazio già da ora per le risposte che mi darete
sia D il dominio definto da $x^2+4y^2-4y<=0$ calcolare $\int int_D y^2dxdy$. avrei bisogno di una mano.
quello che sono riuscita a concludere è questo
$x^2+4y^2-4y<=0$ $iff$ $x^2+(2y-1)^2<=1$ in questo modo ho una circonferenza di raggio 1 e con centro (0,1/2) e la parte che mi interessa è quella interna ad essa e quindi ottengo $D={(x,y):-1<=x<=1$ e $-1/2<=y<=3/2}$
$\int int_D y^2dxdy=2int_(-1/2)^(3/2)y^2(int_0^1dx)dy$
è giusto quello che ho fatto? vi rigrazio già da ora per le risposte che mi darete
Risposte
La regione
$x^2+4y^2-4y<=0$
è la parte interna di un'ellisse, bordo compreso.
$x^2+4y^2-4y<=0$
è la parte interna di un'ellisse, bordo compreso.
ma l'equazione dell'ellise generica non è $x^2/a^2+y^2/b^2=1$?
"rose":
ma l'equazione dell'ellise generica non è $x^2/a^2+y^2/b^2=1$?
No!
"franced":
[quote="rose"]ma l'equazione dell'ellise generica non è $x^2/a^2+y^2/b^2=1$?
No![/quote]
Questa è l'equazione in forma canonica... Ma mica tutte le ellissi vengono date in tale forma!
Nel tuo caso hai una conica descritta dall'equazione $x^2+4y^2-4y=0$; per riportarla in una forma migliore la cosa più indicata da fare è cominciare a completare il quadrato $4y^2-4y$.
Un consiglio...
Applichi la sostituzione:
$alpha=2y-1$ con $dy=1/2*d alpha$
il dominio diventa:
$D=x^2+alpha^2<=1$.
Ora con le coordinate polari dovresti cavartela...ciao!!
Applichi la sostituzione:
$alpha=2y-1$ con $dy=1/2*d alpha$
il dominio diventa:
$D=x^2+alpha^2<=1$.
Ora con le coordinate polari dovresti cavartela...ciao!!
"Gugo82":
Nel tuo caso hai una conica descritta dall'equazione $x^2+4y^2-4y=0$; per riportarla in una forma migliore la cosa più indicata da fare è cominciare a completare il quadrato $4y^2-4y$.
è quello che ho fatto infatti nel primo messaggio ho scritto $x^2+4y^2-4y<=0$ $iff$ $x^2+(2y-1)^2<=1$ ossia $x^2+(4y^2-4y+1)-1<=0$ e considerando la trasformazione di coordinate $\{(X=x),(Y=2y-1):}$ ottengo X^2+Y^2<=1 circonferenza di raggio 1 e centro O(0,0) le cui condinate nel vecchio riferimento diventano (0,1/2) dov'è che sbaglio?
Hai $x^2+(2y-1)^2<=1$ ossia $x^2+(y-1/2)^2/(1/2)^2<=1$: questa disuguaglianza è verificata da tutti i punti del dominio racchiuso dall'ellisse di centro $(0,1/2)$ e semiassi paralleli agli assi coordinati di lunghezza rispettivamente pari ad $a=1$ e $b=1/2$; pertanto l'insieme d'integrazione è quello in figura:
[asvg]xmin=-2; xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("labels");
fill="lightyellow";
ellipse([0,0.5],1,0.5);[/asvg]
La trasformazione che fai porta il centro dell'ellisse in $(0,0)$, però non lascia invariate le lunghezze (non è un'isometria); anzi essa dilata unicamente lungo la direzione dell'asse $y$ di un fattore $2$ (che è esattamente pari allo jacobiano della trasformazione, in quanto stiamo parlando di una trasformazione affine) cosicché la tua circonferenza di raggio unitario si antitrasforma nell'ellisse disegnata sopra.
[asvg]xmin=-2; xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("labels");
fill="lightyellow";
ellipse([0,0.5],1,0.5);[/asvg]
La trasformazione che fai porta il centro dell'ellisse in $(0,0)$, però non lascia invariate le lunghezze (non è un'isometria); anzi essa dilata unicamente lungo la direzione dell'asse $y$ di un fattore $2$ (che è esattamente pari allo jacobiano della trasformazione, in quanto stiamo parlando di una trasformazione affine) cosicché la tua circonferenza di raggio unitario si antitrasforma nell'ellisse disegnata sopra.
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