Integrale doppio

[giuly871]

ho un problema a risolvere questo integrale:
$intint (xy*(x^2-y^2))/(x^4+y^4)dx dy$
con dominio:
$D={1<=x^2+y^2<=4, 0<=x<=1/sqrt3 y}$
tale integrale diventa:
$(int_{1}^{2} rho drho)*(int_{pi/3}^{pi/2}(sinthetacos^3theta-sin^3thetacostheta)/(cos^4theta+sin^4theta)d theta)=3/8(log5-log8)$
io non riesco a risolvere $(int_{pi/3}^{pi/2}(sinthetacos^3theta-sin^3thetacostheta)/(cos^4theta+sin^4theta)d theta)$ e non riesco a capire come fa a trovare come estremo d'integrazione $pi/2$...
io trovo $pi/3$ sostituendo a $x^2+y^2=1$ il valore $x=1/sqrt3 y$ e trovo così $sintheta=+-sqrt3/2$ che vale $theta=pi/3$...poi come proseguo?

[serpo50]

L'integrale che non sai risolvere è in realta una funzione di funzione poichè a numeratore hai la derivata prima del denominatore (a meno di una costantedi 1/3) e questo ti porta ad una primitiva del tipo $ log(f(x))$ ricordando che $f(x)=sen^4(x)+cos^4(x)$ trai le giuste condsiderazioni. Per quanto riguiarda i limiti di integrazione prova a leggere le due disequazione $0<=x<=(1/sqrt(3))y$ singolarmente e troverai che la prima ti dice che il dominio che cerchi è il semipiano destro del piano cartesiano ($x>=0$) mentre la seconda ti dice che devi prendere il semipiano superiore delimitato dalla retta di equazione $y>=sqrt(3)x$. Se ora ragioni in coordinate polari le due rette limite possono essere identificate come linee aventi ro variabile tra 0 e infinito ma fi fisso $pi/3$ per la seconda e $pi/2$ per la prima l'area di integrazone sarà quindi delimitata dai due detti angoli.