Integrale doppio

[Mach2]

Salve a tutti, ho un problema con questo integrale doppio:
$int int_D 1/(sqrt(x^2+4y^2-1))dxdy$ dove l'area D è data da $D={(x^2/4+y^2<=1),(x<=-1):}$

Innanzitutto ho tracciato l'area D:
[asvg]axes();
stroke="red";
ellipse([0, 0], 2, 1);
stroke="green";
line([-1,5],[-1,-5]);[/asvg]
che è quindi la parte sinistra del grafico, compresa tra l'ellisse e la retta.
Calcolandomi $y(-1)=+-sqrt(3)/2$ mi ritrovo con un
$int_{-sqrt(3)/2}^{sqrt(3)/2}dy*int_{-(2*sqrt(1-y^2))}^{-1}1/(sqrt(x^2+4y^2-1))dx$
che scritto in questa maniera non saprei come integrarlo.
Ho pensato di esprimere x ed y come
$\{(x=2\rho cos(\theta)),(y=\rho sin(\theta)):}$
solo che non so come esprimere l'intervallo del raggio $\rho$.
Vi ringrazio per gli eventuali aiuti

[gugo82]

Azz Mach, dopo 3 post già fai i disegnini... Complimenti!

C'è gente che non usa MathML dopo 60 post, figurati se si mette a fare i disegni.

Ad ogni modo, per me ti conviene passare a coordinate polari però usando un po' di astuzia.
Ora mi spiego: tu saprai certamente che l'ellisse di centro $o=(0,0)$ e semiassi $a,b>0$ si parametrizza come:

$\{(x=a*cos theta),(y=b*sin theta):}$

Nel tuo caso l'integrando è definito fuori dall'ellisse "piccola" $x^2+4y^2=1$, che ha centro in $o$ e semiassi $1,1/2$; inoltre il dominio $D$ è fatto da un pezzo di ellisse "grande" $x^2/4+y^2=1$ avente centro in $o$ e semiassi doppi rispetto ai precedenti.
Allora invece di passare alle coordinate polari classiche, puoi usare una trasformazione che presenti come fattori di scala davanti a $rho$ i due semiassi dell'ellisse "piccola": insomma ti propongo di usare:

(*) $\quad \{(x=rho*cos theta),(y=1/2rho*sin theta):}$

Vediamo ora come descrivere il dominio $D$: innanzitutto la parte di piano compresa tra le due ellissi si ottiene facendo variare $(theta,rho) in [0,2pi] \times ]1,2]$ (l'intervallo $]1,2]$ è aperto perchè l'ellisse "piccola" non la puoi prendere); d'altra parte dall'equazione $x=-1$ della retta delimitante $D$, mediante sostituzione trovi:

$rho*cos theta=-1 \Leftrightarrow rho=-1/(cos theta)$

che è l'equazione polare della tua retta; per determinare l'intervallo di variazione di $\theta$ basta usare quanto hai già trovato: visto che i punti di intersezione tra la retta e l'ellisse grande già li hai determinati bene, possiamo dire che $theta$ varia tra $2/3pi$ e $4/3pi$.
Mettendo tutto insieme, il tuo dominio $D$ in coordinate polari si rappresenta come:

$\{(theta,rho): \quad 2/3pi <=theta <=4/3 pi " e " theta !=pi , -1/(cos theta) <= rho <=2\}$

(il valore $theta=pi$ va escluso perchè ad esso corrisponde un valore di $rho=-1/(cos theta)$ che non è lecito prendere) ed è quello in figura:
[asvg]xmin=0; xmax= 6.28; ymin=0; ymax=3;
axes(1.57,1,"labels",1.57,1,"grid");
plot("-1/(cos(x))", 2.094, 4.188);
line([2.094,2],[4.188,2]);
dot([3.14,1]);[/asvg]
ove ovviamente sull'asse orizzontale ci sono i valori di $theta$ e su quello verticale quelli di $rho$.

Infine, se fai i conti lo jacobiano della trasformazione (*) viene ad essere $1/2 rho$.

Ora hai tutti gli ingredienti. Mettili insieme e calcola!
Buona fortuna! (KEK!!!)

[Mach2]

Grassie mille
Mi metto a fare i conti e aggiorno

Edit:
sinceramente non avevo nemmeno calcolato il dominio pensando che fosse tutto compreso nell'area che mi assegnava e più o meno mi era andata bene
Seguendo le tue istruzioni ed utilizzando le tue coordinate polari:
(*)$={(x=\rhocos(\theta)),(y=(1/2)\rhosin(\theta)):}$
mi ritrovo con questo integrale:
$int_{(2\pi)/3}^{(4\pi)/3}d\theta int_{-1/cos\theta}^{2} 1/2 \rho *1/(sqrt((\rhocos\theta)^2+4(1/2*\rhosin\theta)^2-1)) d\rho$
(ometto in alcuni passaggi gli estremi d'integrazione)
$1/2 * int d\theta int \rho/(sqrt(\rho^2cos^2\theta+\rho^2sin^2\theta-1))d\rho$
$1/4 * int d\theta int (2\rho)/(sqrt(\rho^2-1))d\rho$
$1/4 * int d\theta * 2[sqrt(\rho^2-1)]_{-1/cos\theta}^{2}$
$1/2 * int sqrt(3) - sqrt(1/(cos^2\theta)-1) *d\theta$
$1/2 * int sqrt(3) - sqrt((sen^2\theta)/(cos^2\theta))* d\theta$
$1/2 * int sqrt(3) - (sen\theta)/(cos\theta) d\theta$
$1/2 * (int sqrt(3)d\theta + int -(sen\theta)/(cos\theta) d\theta)$
$1/2 * (sqrt(3)[\theta]_{(2\pi)/3}^{(4\pi)/3} + [ln(cos\theta)]_{(2\pi)/3}^{(4\theta)/3))$
$1/2(sqrt(3)*(2\pi)/3+0)$
$sqrt(3)/3$

Giusto?