Integrale doppio

[Carlus1]

Traccia dell'esercizio: dato in $RR^2$ il dominio $D={(x,y)inRR^2 | x^2+y^2<=4, y<=x}

calcolare l'integrale doppio: $I=sqrt(2)/2\int int xy^2 dxdy$

verificare il risultato ottenuto applicando le formule di Green-Gauss, (cioè) calcolando un opportuno integrale curvilineo esteso alla frontiera del dominio $+\partialD$.
Io ho inizialmente parametrizzato la circonferenza:
$\{(x(t)=2cost),(y(t)=2sint):}$
$\{(x'(t)=-2sint),(y'(t)=2cost):}$
poi mi sono calcolato l'integrale doppio (applicando le formule di riduzione):

$I=sqrt(2)/2\int_0^(2\pi) dx int_-2^2 xy^2 dy$ sostituendo poi x, y e dx, dy dalla parametrizzazione: ho fatto bene? ...io non ne sono sicuro! Il mio risultato non coincide con la verifica con Green-Gauss. Infatti $I=sqrt(2)*(\pi)$ mentre nella verifica con G.-G. $I=-128*(\pi)$ avrò sicuramente combinato qualche pasticcio... potreste aiutarmi a trovare l'errore? Grazie infinite!

[clockover]

Ciao io ho provato a farlo ma non ho seguito il tuo metodo! Mi sono creato la circonferenza di raggio 2 e ho diviso primo e terzo quadrante dalla retta $y = x$!

Il dominio deve essere compreso all'interno della circonferenza e al di sotto della retta d'equazione! Quindi sono passato alle coordinate polari ponendo $x = \rho*Cos\theta$ e $y = \rho*Cos\theta$ e il nuovo dominio diventa ${0 <= \rho <= 2, 5/4\pi <= \theta <= \pi/4}$

Da qui mi si semplifica moltissimo e mi viene $16/15$

spero di aver detto giusto! Purtroppo non conosco le formule di Gree Gauss non posso fare altro!

[Carlus1]

ah..capisco avevo sbagliato il dominio di integrazione ora provo a rifarlo...Grazie!