Integrale doppio

[jestripa-votailprof]

[asvg]axes ( );
plot ("0.6x");
plot ("1.3x");
dot ( [3 , 0] );
dot ( [0 , 2] );
line ( [0 , 2] , [3 , 0]);
stroke="black";
dot ( [1 ,1.3] );
dot ( [1.5 , 1] );
dot ( [3 , 2] );
dot ( [1.5 , 2] );
dot ( [3 ,2]);
dot ( [1.5 , 1] );
line ( [3 ,0] , [3 , 2] );
line ( [0 , 2] , [3 , 2] );
var D= [1.5 , 1];
text(D ,"D",belowright);
var A=[1 , 1.3];
text(A , "A", left);
var B=[1.5 , 2];
text(B,"B", above);
var C=[3 ,2];
text(C , "C" , right);[/asvg]

il dominio disegnato nella figura ABCE è il dominio dell'integrale doppio $intx dx dy$.
con
$A=(1,4/3)$
$B=(3/2,2)$
$C=(3,2)$
$D=(3/2,1)$

le funzioni delle 3 rette sono rispettivamente :
$y=4/3x$
$y=2/3x$
$y=2-2/3x$ l'unica storta rispetto alle altre.

come faccio ad impostare l'integrale con i giusti domini?

[AMs1]

Devi fare un ragionamento grafico per fili. Supponi ad esempio d'integrare prima lungo la y e quindi di dover stendere tanti fili verticali lungo il dominio. Si presenteranno due casi:

-per $1<=x<3/2$ i fili vanno da $y=2-2/3x$ a $y=4/3x$
-per $3/2
perciò l'integrale diventa

$int_1^(3/2) int_(2-2/3x)^(4/3x) x dy dx + int_(3/2)^3 int_(2/3x)^2 x dy dx

[jestripa-votailprof]

e se i fili fossero orizzontali come andrebbe?

[jestripa-votailprof]

provo,ma già so che nn ci prendo!
per $4/3<=y<=2$ i fili vanno da $y=4/3x$ a $y=2/3x$
per $1<=y<=4/3$ i fili vanno da $y=2-2/3x$ a $y=2/3x$

$int_(4/3)^2(int_(2/3x)^(4/3x)xdx)dy + int_1^(4/3)(int_(2-2/3x)^(2/3x) xdx)dy$