Integrale doppio

[jestripa-votailprof]

ciao!
sono alle primissime armi con gli integrali doppi e nn capisco come è stato svolto il seguente esercizio:
$int_D (|x|+xy^2+x^2y)dxdy$
$D=[(x,y)R^2 : x^2+y^2<=9]$

c'è da trasformare in coordinate polari piane la funzione integranda,il libro premette però che per simmetria si ha che:
$int_D(|x|+xy^2+x^2y)dxdy=4int_(D^(++))(xdxdy)$
dove $D^(++)=[(x,y)D: (x,y)>=0]$
questo passaggio non mi è chiaro,c'è qualche formula che nn ricordo?

[_luca.barletta]

deriva dall'osservare che $f(x,y)+f(-x,-y)=2|x|$ e che $f(x,-y)+f(-x,y)=2|x|$

[jestripa-votailprof]

ma a che fine?
di solito gli integrali doppi sono proposti con il dominio in cui sono specifati gli intervalli di x e y che coincidono poi con gli estremi di integrazione per svolgere l'integrale.
In questo modo,come posso ricondumi agli estremi di integrazione?come si fa a passare poi in coordinate polari?

[jestripa-votailprof]

magari essendo una circonferenza gli estremi potrebbero essere da 0 a 3 visto che so il valore del raggio.....e fin qui ci posso arrivare anche senza notare nulla.
ma ci son diverse cose in questa tipologia di esercizio che nn mi sono chiare:
1-DA DOVE SPUNTA FUORI QUEL 4,
2-CHE INTENDO PER $D^(++)$ ?
3-DALL'OSSERVAZIONE,COME ARRIVO A $4int_D^(++)xdxdy$?non potevo metterci y o chissà quale altra cosa?

[jestripa-votailprof]

aspettaaaaaa!
ho capito il punto 1 e il punto 3.
vedi se fila:
ho omesso un piccolo dettaglio FONDAMENTALE:l'esercizio mi chiede di calcolare 2I,ecco da dove spunta fuori il 4!
per il punto 3,se ho capito bene,ragionando in termini di simmetria $f(x,y)=-f(-x,-y)$
allora la simmetrica della funzione in questione è $f(x,y)=2|x|$
quindi:
$2I=2int_(D^(++))(2|x|dxdy=4int_(D^(++))|x|dxdy$
se questo è il ragionamento giusto,mi manca da capire solo perchè toglie il valore assoluto.....

[_luca.barletta]

togli il valore assoluto perché stai integrando su un dominio dove $x$ è non negativa.