Integrale Doppio
Calcolare l'integrale $int_A(x + y)e^(x^2 + y^2)$ dove $A={(x,y): |x|+|y|<=1}$
Allora, ho sbirciato il risultato del libro e vedo che è $0$, quindi volevo sapere se c'era qualche trucchetto per vedere subito che l'integrale fosse $0$
Dico questo perchè ad esempio in classe abbiamo fatto un esercizio in cui il sottoinsieme di $RR^2$ al quale era esteso l'integrale era simmetrico rispetto all'asse y e la funzione soddisfaceva la condizione $f(-x,y)=-f(x,y)$ e da li la prof ha dedotto che l'integrale era nullo. Cosa che tra l'altro non ho capito molto bene(è come dire che la funzione è dispari? )
Allora, ho sbirciato il risultato del libro e vedo che è $0$, quindi volevo sapere se c'era qualche trucchetto per vedere subito che l'integrale fosse $0$
Dico questo perchè ad esempio in classe abbiamo fatto un esercizio in cui il sottoinsieme di $RR^2$ al quale era esteso l'integrale era simmetrico rispetto all'asse y e la funzione soddisfaceva la condizione $f(-x,y)=-f(x,y)$ e da li la prof ha dedotto che l'integrale era nullo. Cosa che tra l'altro non ho capito molto bene(è come dire che la funzione è dispari? )
Risposte
Sì, il trucco c'è, e sta nello sfruttare le simmetrie del dominio e le simmetrie della f: guarda innanzitutto come è fatto A.
Si, ho già disegnato $A$ che mi da l'area all'interno del quadrato di vertici $(1,0)$,$(0,1)$,$(-1,0)$,$(0,-1)$.
Ho provato a fare le stesse considerazioni dell'altro esempio di cui parlavo prima. La simmetria rispetto ad y c'è, solo che stavolta non vale $f(-x,y)=-f(x,y)$
Tra l'altro, qualcuno mi può spiegare perchè $f(-x,y)=-f(x,y)$ e simmetria rispetto ad $y$ implicano integrale esteso all'insieme nullo?
Grazie
Ho provato a fare le stesse considerazioni dell'altro esempio di cui parlavo prima. La simmetria rispetto ad y c'è, solo che stavolta non vale $f(-x,y)=-f(x,y)$
Tra l'altro, qualcuno mi può spiegare perchè $f(-x,y)=-f(x,y)$ e simmetria rispetto ad $y$ implicano integrale esteso all'insieme nullo?
Grazie
Per la stessa ragione per cui $int_(-a)^a f(x)dx $ = 0 , essendo $f(x)$ una funzione dispari : i 2 contributi si annullano.
"Dust":
Calcolare l'integrale $int_A(x + y)e^(x^2 + y^2)$ dove $A={(x,y): |x|+|y|<=1}$
Allora, ho sbirciato il risultato del libro e vedo che è $0$, quindi volevo sapere se c'era qualche trucchetto per vedere subito che l'integrale fosse $0$
Dico questo perchè ad esempio in classe abbiamo fatto un esercizio in cui il sottoinsieme di $RR^2$ al quale era esteso l'integrale era simmetrico rispetto all'asse y e la funzione soddisfaceva la condizione $f(-x,y)=-f(x,y)$ e da li la prof ha dedotto che l'integrale era nullo. Cosa che tra l'altro non ho capito molto bene(è come dire che la funzione è dispari? )
la simmetria è $f(-x,-y)=-f(x,y)$: fai conto di usare un nuovo sistema di coordinate, -x e -y: l'integrale nelle nuove variabili dà il solito risultato di prima. ma nel nuovo sistema la funzione ha cambiato di segno, il dominio è rimasto uguale (è simmetrico rispetto all'origine) quindi l'integrale che viene fuori è l'opposto del precedente. allora è nullo. spero di essermi spiegato: se non ti fidi, usa la formula del cambiamento di variabile e ricorda, appunto, che il dominio è simmetrico
Non ho ben capito...Forse è perchè sono un po' fuso stasera.. XD
Cmq allora nelle condizioni di simmetria del dominio l'integrale è nullo sia nel caso sia verificato
$f(-x,y)=-f(x,y)$ che $f(-x,-y)=-f(x,y)$. Anche in altri casi?
Cmq allora nelle condizioni di simmetria del dominio l'integrale è nullo sia nel caso sia verificato
$f(-x,y)=-f(x,y)$ che $f(-x,-y)=-f(x,y)$. Anche in altri casi?
tutte le volte che $ft(x,y)=-f(x,y)$ (t è regolare, invertibile e conserva le superfici, ad esempio una simmetria) e il dominio A è $t^-1(A)=A$, cioè è simmetrico rispetto a t
Non riesco bene a capire il significato di ciò che hai scritto. In parole povere $ft(x,y)$ può significare tutti i casi del tipo $f(-x,y)$, $f(x,-y)$, $f(-x,-y)$?
O anche quelli del tipo $-f(x,y)$, $-f(-x,y)$ ecc.. ?
O anche quelli del tipo $-f(x,y)$, $-f(-x,y)$ ecc.. ?
ho usato una notazione equivoca. quella giusta è $f(t(x,y))$ quindi i primi casi vanno bene, i secondi no.
Grazie Inmytime. Mi ci voleva proprio una bella schematizzazione, così almeno durante il compito che non avrò tutto il tempo per star li a farmi disegni e cercare le varie simmetrie potrò sfruttare questa semplice formuletta.
http://en.wikipedia.org/wiki/Substitution_rule (teorema a fondo pagina)
$U:=A$, $phi:=-id$ e dunque $V=-id(A)=A$, visto che il determinante del jacobiano è 1 hai:
$int_A(x+y)e^(x^2+y^2)=int_A(-x-y)e^((-x)^2+(-y)^2)=-int_A(x+y)e^(x^2+y^2)$
dunque l'integrale dà 0.
$U:=A$, $phi:=-id$ e dunque $V=-id(A)=A$, visto che il determinante del jacobiano è 1 hai:
$int_A(x+y)e^(x^2+y^2)=int_A(-x-y)e^((-x)^2+(-y)^2)=-int_A(x+y)e^(x^2+y^2)$
dunque l'integrale dà 0.
"Dust":
Grazie Inmytime. Mi ci voleva proprio una bella schematizzazione, così almeno durante il compito che non avrò tutto il tempo per star li a farmi disegni e cercare le varie simmetrie potrò sfruttare questa semplice formuletta.
attenzione, i disegni bisogna farli lo stesso per capire se è vero che il dominio è simmetrico rispetto al cambiamento di variabile che fa cambiare segno alla funzione: se il dominio non è simmetrico, la formula non vale, perchè la funzione cambia segno su un dominio differente
"Inmytime":
[quote="Dust"]Grazie Inmytime. Mi ci voleva proprio una bella schematizzazione, così almeno durante il compito che non avrò tutto il tempo per star li a farmi disegni e cercare le varie simmetrie potrò sfruttare questa semplice formuletta.
attenzione, i disegni bisogna farli lo stesso per capire se è vero che il dominio è simmetrico rispetto al cambiamento di variabile che fa cambiare segno alla funzione: se il dominio non è simmetrico, la formula non vale, perchè la funzione cambia segno su un dominio differente[/quote]
Ok, non intendevo quello. Il disegno del dominio lo faccio sempre(anche perchè mi piace disegnarlo )
Io intendevo abbozzare magari il grafico 3d, visto che per la semplicità di alcune funzioni in alcuni casi si può anche fare.
Ciao
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