Integrale doppio

[Dust1]

Ho appena iniziato questo nuovo argomento al corso di Matematica C e già trovo qualche problema.

L'esercizio che non riesco a svolgere è questo

$int_([-1,1]xx[0,2])sqrt(|y-x^2|)dxdy$
Allora, visto che c'è il modulo avevo pensato di suddividere i due casi e quindi di risolvere due integrali. Porre $y-x^2>=0$ significa considerare la parte di piano contenuta all'interno della concavità della parabola e quindi dovrei considerare $sqrt(y-x^2)$ nella parte detta sopra(limitata a $[-1,1]xx[0,2]$) e $sqrt(x^2-y)$ nella parte esterna alla concavità della parabola(limitata a $[-1,1]xx[0,2]$). Il fatto è che non so come operare la distinzione numericamente negli intervalli d'integrazione, ossia estendere i 2 integrali alle rispettive aree in cui devono essere calcolati.

Mi servirebbe proprio un aiutino..

Ciao

[_Tipper]

Puoi riscrivere l'integrale così

$\int_{-1}^{1} \int_{0}^{x^2} \sqrt{x^2 - y} dydx + \int_{-1}^{1} \int_{x^2}^{2} \sqrt{y - x^2} dydx$

Prova a fare un disegno con la parabola e il rettangolo $[-1,1] \times [0,2]$. Risulta $y>x^2$ nella parte superiore del rettangolo, ovvero per $y$ che va da $x^2$ a $2$. Risulta invece $y

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[Dust1]

"Tipper":Puoi riscrivere l'integrale così

$\int_{-1}^{1} \int_{0}^{x^2} \sqrt{x^2 - y} dydx + \int_{-1}^{1} \int_{x^2}^{2} \sqrt{y - x^2} dydx$

Prova a fare un disegno con la parabola e il rettangolo $[-1,1] \times [0,2]$. Risulta $y>x^2$ nella parte superiore del rettangolo, ovvero per $y$ che va da $x^2$ a $2$. Risulta invece $y

Grazie Tipper! In effetti come calcolo è un po' strano dal mio punto di vista. Comunque ora che è impostato è tutto più semplice!
Ciao

[spassky]

"Dust":Ho appena iniziato questo nuovo argomento al corso di Matematica C e già trovo qualche problema.

L'esercizio che non riesco a svolgere è questo

$int_([-1,1]xx[0,2])sqrt(|y-x^2|)dxdy$
Allora, visto che c'è il modulo avevo pensato di suddividere i due casi e quindi di risolvere due integrali. Porre $y-x^2>=0$ significa considerare la parte di piano contenuta all'interno della concavità della parabola e quindi dovrei considerare $sqrt(y-x^2)$ nella parte detta sopra(limitata a $[-1,1]xx[0,2]$) e $sqrt(x^2-y)$ nella parte esterna alla concavità della parabola(limitata a $[-1,1]xx[0,2]$). Il fatto è che non so come operare la distinzione numericamente negli intervalli d'integrazione, ossia estendere i 2 integrali alle rispettive aree in cui devono essere calcolati.

Mi servirebbe proprio un aiutino..

Ciao

Innanzitutto visto che il dominio è normale rispetto sia a $x$ che a $y$, puoi scrivere l'integrale doppio con le formule di riduzione e avere i singoli integrali in $dx$ e $dy$.
Tutto ruota intorno alla condizione $y>=x^2$.
Infatti l'equazione $y=x^2$ definisce una parabola che seziona il quadrato $[-1,1]x[0.2]$ in due aree.
Per $y>x^2$ il dominio dell'integrale diventa la porzione di parabola compresa tra il vertice della parabola e il lato superiore del quadrato.
Per $y Dunque individua nuovi estremi per $x$ e $y$ nei due casi e svolgi i due integrali doppi. Li sommi e ottieni il risultato.
Che comunque dovrebbe essere $1/2pi+5/3 $

[Dust1]

Grazie anche a spassky! Il procedimento l'avevo capito ma così ho la conferma sia sul procedimento stesso che sul risultato. Grazie ancora della disponibilità!

[Dust1]

Mi ero poi scordato di chiedere un altro piccolo aiuto...

Come si integra $int(2-x^2)^(3/2)dx$?

Grazie

[spassky]

"Dust":Mi ero poi scordato di chiedere un altro piccolo aiuto...

Come si integra $int(2-x^2)^(3/2)dx$?

Grazie

Per sostituzione...

[Dust1]

Cosa si mette? $x=sinx$?

Poi, visto che ci sono e solo per curiosità, vorrei la vostra soluzione di
$int_1^2(arctgx-arctg(x/2)dx)$ poichè sul libro mette un risultato che non combacia ne con quello che ho trovato io, nemmeno con quello che trova Derive e non capisco il perchè visto che non credo di sbagliare trovando come primitiva

$x(arctgx-arctg(x/2))-(1/2log(1+x^2)-log(1+(x/2)^2))$

Ciao