Integrale doppio
$intint_(D)(x^2 y+1)dxdy
$D={(x,y)inRR^2: 2x<=x^2+y^2<=4x}
Come lo svolgo? se uso le coordinate polari nell'insieme ottengo: $rho>=2cosvartheta$ e $rho<=4cosvartheta$ e non so come fare.
Deve sostituire usando $u$ e $v$? e come faccio in questo caso? Grazie!
$D={(x,y)inRR^2: 2x<=x^2+y^2<=4x}
Come lo svolgo? se uso le coordinate polari nell'insieme ottengo: $rho>=2cosvartheta$ e $rho<=4cosvartheta$ e non so come fare.
Deve sostituire usando $u$ e $v$? e come faccio in questo caso? Grazie!
Risposte
Il dominio su cui devi integrare è questo:
quindi, poiché l'integrale doppio è additivo rispetto al dominio di integrazione,
puoi calcolare l'integrale sul cerchio più grande (che si calcola
con le polari) e sottrarre da esso quello sul cerchio più piccolo.
quindi, poiché l'integrale doppio è additivo rispetto al dominio di integrazione,
puoi calcolare l'integrale sul cerchio più grande (che si calcola
con le polari) e sottrarre da esso quello sul cerchio più piccolo.
Infatti il disegno rende evidente il cambio di coordinate, che non devono essere solo polari, ma ci vuole anche una traslazione.
Ad esempio per calcolare l'integrale sul cerchio più
grande, occorre calcolare $I_1=int_0^(2pi) d theta (int_0^2 ((2+rhocostheta)^2rhosintheta+1)rho drho)
che con semplici conti è uguale a $4pi$.
grande, occorre calcolare $I_1=int_0^(2pi) d theta (int_0^2 ((2+rhocostheta)^2rhosintheta+1)rho drho)
che con semplici conti è uguale a $4pi$.
non ho capito bene come fate a trovare gli estremi d'integrazione dei 2 cerchi.
E poi perchè il grafico è così...cioè ho 2x, traslo per questo motivo? Non mi è molto chiaro.
Mi potete scrivere il nuovo dominio?
E poi perchè il grafico è così...cioè ho 2x, traslo per questo motivo? Non mi è molto chiaro.
Mi potete scrivere il nuovo dominio?
Il nuovo dominio è $[0,2] xx [0,2pi]$, quindi un "rettangolo".
Per disegnare il dominio puoi vederlo così:
${(x^2+y^2-4x<=0),(x^2+y^2-2x>=0):}
ora, $x^2+y^2-4x=0$ è l'equazione
della circonferenza di centro $(2,0)$ e raggio $2$,
mentre $x^2+y^2-2x=0$ è una circonferenza
di centro $(1,0)$ e raggio $1$. Una volta
capito questo (e non è difficile, se hai studiato
geometria analitica al liceo), leggendo le disuguaglianze
è immediato capire come è fatto il dominio.
${(x^2+y^2-4x<=0),(x^2+y^2-2x>=0):}
ora, $x^2+y^2-4x=0$ è l'equazione
della circonferenza di centro $(2,0)$ e raggio $2$,
mentre $x^2+y^2-2x=0$ è una circonferenza
di centro $(1,0)$ e raggio $1$. Una volta
capito questo (e non è difficile, se hai studiato
geometria analitica al liceo), leggendo le disuguaglianze
è immediato capire come è fatto il dominio.
si si certo...sono fesso io! 
ero così abituato ad avere circonferenze centrate nell'origine che non mi ricordavo come erano quelle traslate...
quindi in definitiva devo fare l'integrale di $0<=rho<=2$ e $0<=vartheta<=2pi$ e sottrarre $0<=rho<=1$ e $0<=vartheta<=2pi$ giusto?
Fare un unico integrale $1<=rho<=2$ e $0<=vartheta<=2pi$ è sbagliato?
ero così abituato ad avere circonferenze centrate nell'origine che non mi ricordavo come erano quelle traslate...quindi in definitiva devo fare l'integrale di $0<=rho<=2$ e $0<=vartheta<=2pi$ e sottrarre $0<=rho<=1$ e $0<=vartheta<=2pi$ giusto?
Fare un unico integrale $1<=rho<=2$ e $0<=vartheta<=2pi$ è sbagliato?
Io per sicurezza farei l'integrale sul cerchio grande meno quello sul cerchio piccolo...
E comunque ora che ci penso non puoi dire $1<=rho<=2$,
potresti dirlo se dovessi integrare su una corona circolare, ma in questo caso no...
E comunque ora che ci penso non puoi dire $1<=rho<=2$,
potresti dirlo se dovessi integrare su una corona circolare, ma in questo caso no...
io lo farei così:
${(x=rho*costheta),(y=rho*sintheta):}$ con $2*rho*costheta<=rho^2<=4*rho*costheta$ da cui essendo $rho>=0$ (per definizione di coordinate polari) si ricava $2*costheta<=rho<=4*costheta$. Affinchè $rho>=0$ deve essere $costheta>=0$ cioè $-pi/2<=theta<=pi/2$
Ora si può integrare ottenendo $I=int_{-pi/2}^{pi/2}d theta int_{2costheta}^{4costheta}(rho^3*cos^2theta*sintheta+1)*rhodrho$=
$int_{-pi/2}^{pi/2}d theta *[rho^5/5*cos^2theta*sintheta+rho^2/2]_{2costheta}^{4costheta}=int_{-pi/2}^{pi/2}(6*cos^2(theta)+992/5*cos^7(theta)*sin(theta))d theta=3pi$
Ad analogo risultato giungi se intendi l'integrale come differenza tra due integrali, il primo lungo la circonferenza di raggio maggiore e l'altro lungo l'altra circonferenza:
$I=I_M-I_m$
Per calcolare $I_M$ utilizziamo tale parametrizzazione ${(x=rho*costheta+2),(y=rho*sintheta):}$ per cui $0<=rho<=2,0<=theta<=2pi$ da cui
$I_M=int_{0}^{2pi}d theta int_{0}^{2}((rho*cos theta+2)^2*rho*sintheta+1)*rhodrho=4pi$
Per calcolare $I_m$ utilizziamo tale parametrizzazione ${(x=rho*costheta+1),(y=rho*sintheta):}$ per cui $0<=rho<=1,0<=theta<=2pi$ da cui
$I_m=int_{0}^{2pi}d theta int_{0}^{1}((rho*cos theta+1)^2*rho*sintheta+1)*rhodrho=pi$
Quindi $I=4pi-pi=3pi$
${(x=rho*costheta),(y=rho*sintheta):}$ con $2*rho*costheta<=rho^2<=4*rho*costheta$ da cui essendo $rho>=0$ (per definizione di coordinate polari) si ricava $2*costheta<=rho<=4*costheta$. Affinchè $rho>=0$ deve essere $costheta>=0$ cioè $-pi/2<=theta<=pi/2$
Ora si può integrare ottenendo $I=int_{-pi/2}^{pi/2}d theta int_{2costheta}^{4costheta}(rho^3*cos^2theta*sintheta+1)*rhodrho$=
$int_{-pi/2}^{pi/2}d theta *[rho^5/5*cos^2theta*sintheta+rho^2/2]_{2costheta}^{4costheta}=int_{-pi/2}^{pi/2}(6*cos^2(theta)+992/5*cos^7(theta)*sin(theta))d theta=3pi$
Ad analogo risultato giungi se intendi l'integrale come differenza tra due integrali, il primo lungo la circonferenza di raggio maggiore e l'altro lungo l'altra circonferenza:
$I=I_M-I_m$
Per calcolare $I_M$ utilizziamo tale parametrizzazione ${(x=rho*costheta+2),(y=rho*sintheta):}$ per cui $0<=rho<=2,0<=theta<=2pi$ da cui
$I_M=int_{0}^{2pi}d theta int_{0}^{2}((rho*cos theta+2)^2*rho*sintheta+1)*rhodrho=4pi$
Per calcolare $I_m$ utilizziamo tale parametrizzazione ${(x=rho*costheta+1),(y=rho*sintheta):}$ per cui $0<=rho<=1,0<=theta<=2pi$ da cui
$I_m=int_{0}^{2pi}d theta int_{0}^{1}((rho*cos theta+1)^2*rho*sintheta+1)*rhodrho=pi$
Quindi $I=4pi-pi=3pi$
ok, capito, grazie davvero ragazzi!
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