Integrale doppio
Calcolare $ int int_(D)^() sqrt((x+1)^2-y^2)dxdy $ dove $D$ è il trapezio di vertici $ (0,1)\quad(0,-1)\quad(1,2)\quad(1,-2) $.
Ho espresso $D$ come dominio normale rispetto all'asse $x$ ma l'integrazione per riduzione mi porta ad un integranda di primitiva difficile da calcolare:
$ int_(0)^(1)dxint_(-x-1)^(x+1) sqrt((x+1)^2-y^2)dy $
Ho escluso il cambiamento di variabili perchè abbiamo solo trattato il caso delle coordinate polari e $D$ non ha alcun tipo di simmetria radiale.
Ho provato l'integrazione per parti
$ int int_(D)^() sqrt((x+1)^2-y^2)dxdy $= $ -int_(\deltaD^+)^() ysqrt((x+1)^2-y^2)dx- int int_(D)^() \frac{-y^2}{sqrt((x+1)^2-y^2)}dxdy $
ma l'ultimo integrale doppio a destra è anche più difficile del primo.
Qualche suggerimento?
Grazie.
Ho espresso $D$ come dominio normale rispetto all'asse $x$ ma l'integrazione per riduzione mi porta ad un integranda di primitiva difficile da calcolare:
$ int_(0)^(1)dxint_(-x-1)^(x+1) sqrt((x+1)^2-y^2)dy $
Ho escluso il cambiamento di variabili perchè abbiamo solo trattato il caso delle coordinate polari e $D$ non ha alcun tipo di simmetria radiale.
Ho provato l'integrazione per parti
$ int int_(D)^() sqrt((x+1)^2-y^2)dxdy $= $ -int_(\deltaD^+)^() ysqrt((x+1)^2-y^2)dx- int int_(D)^() \frac{-y^2}{sqrt((x+1)^2-y^2)}dxdy $
ma l'ultimo integrale doppio a destra è anche più difficile del primo.
Qualche suggerimento?
Grazie.
Risposte
Hai praticamente concluso, ti stai facendo confondere dal fatto che ci sono più variabili. Come calcoleresti $\int \sqrt{3-u^2} \text{d}u$?
Questo integrale $ int int_(D)^() sqrt((x+1)^2-y^2)dxdy $
suggerisce di fare un primo cambio di variabili:
$x+1 -> x$
$y -> y$
Ho tenuto gli stessi nomi data la semplicita' della trasformazione.
L'integrale diventa
$ int int_(D')^() sqrt(x^2-y^2)dxdy $
e il dominio:
$ (1,1)\quad(1,-1)\quad(2,2)\quad(2,-2) $
A questo punto occorre un altro cambio di variabili, questa volta un po' originale:
$x = u$
$y = u \sin v$
$ \int \int_(D'')^() u \cos v (u \cos v)\ du \ dv = \int \int_(D'')^() u^2 \cos^2 v \ du \ dv $
Il fattore aggiuntivo $u \cos v$ deriva dallo jacobiano:
$J = ((1, 0), (\sin v, u \cos v))$
di cui bisogna calcolare il determinante $|J| = u \cos v$
Fortunatamente il dominio diventa "squadrato" e l'integrale doppio si puo' separare, infatti
$u = x$
$v = \arcsin (y/x)$
e il dominio diventa:
$D'' = [1,2] \times [-\pi/2, \pi/2]$
Quindi
$$\int \int_{D''} u^2 \cos^2 v \ du \ dv = \int_1^2 u^2\ du \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos^2 v\ dv$$
$$ \frac{7}{3} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1+\cos 2v}{2} \ dv = \frac{7 \pi}{6}$$
Ricontrolla il tutto per eventuali errori di calcolo, ma la procedura dovrebbe essere questa.
suggerisce di fare un primo cambio di variabili:
$x+1 -> x$
$y -> y$
Ho tenuto gli stessi nomi data la semplicita' della trasformazione.
L'integrale diventa
$ int int_(D')^() sqrt(x^2-y^2)dxdy $
e il dominio:
$ (1,1)\quad(1,-1)\quad(2,2)\quad(2,-2) $
A questo punto occorre un altro cambio di variabili, questa volta un po' originale:
$x = u$
$y = u \sin v$
$ \int \int_(D'')^() u \cos v (u \cos v)\ du \ dv = \int \int_(D'')^() u^2 \cos^2 v \ du \ dv $
Il fattore aggiuntivo $u \cos v$ deriva dallo jacobiano:
$J = ((1, 0), (\sin v, u \cos v))$
di cui bisogna calcolare il determinante $|J| = u \cos v$
Fortunatamente il dominio diventa "squadrato" e l'integrale doppio si puo' separare, infatti
$u = x$
$v = \arcsin (y/x)$
e il dominio diventa:
$D'' = [1,2] \times [-\pi/2, \pi/2]$
Quindi
$$\int \int_{D''} u^2 \cos^2 v \ du \ dv = \int_1^2 u^2\ du \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos^2 v\ dv$$
$$ \frac{7}{3} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1+\cos 2v}{2} \ dv = \frac{7 \pi}{6}$$
Ricontrolla il tutto per eventuali errori di calcolo, ma la procedura dovrebbe essere questa.
Ciao TS778LB,
Per farla un po' più semplice, ripartirei dal primo integrale doppio ottenuto da Quinzio:
La funzione integranda $z = f(x,y) = \sqrt(x^2 - y^2) $ è pari ed il dominio è simmetrico rispetto all'asse $x$, quindi si può scrivere:
$\int \int_{D'} \sqrt(x^2 - y^2) \text{d}x \text{d}y = 2 \int \int_{D'_+} \sqrt(x^2 - y^2) \text{d}x \text{d}y = \int_1^2 (\int_0^x 2 \sqrt(x^2 - y^2) \text{d}y) \text{d}x = $
$ = \int_1^2 [x^2 arcsin(y/x) + y \sqrt{x^2 - y^2}]_0^x \text{d}x = \pi/2 \int_1^2 x^2 \text{d}x = \pi/2 [x^3/3]_1^2 = \pi/2 [8/3 - 1/3] = (7\pi)/6$
In realtà si ottiene lo stesso risultato anche con la procedura indicata da Quinzio, che però non so se ti è così familiare, dato che
considerando che se $x = x(u, v) = u \implies (\del x)/(\del u) = 1 $ e quindi in realtà $ |J| = u cos v $
Per farla un po' più semplice, ripartirei dal primo integrale doppio ottenuto da Quinzio:
"Quinzio":
L'integrale diventa
$\int \int_{D'} \sqrt(x^2 - y^2) dx dy $
e il dominio:
$(1,1)$ $(1,−1)$ $(2,2)$ $(2,−2)$
La funzione integranda $z = f(x,y) = \sqrt(x^2 - y^2) $ è pari ed il dominio è simmetrico rispetto all'asse $x$, quindi si può scrivere:
$\int \int_{D'} \sqrt(x^2 - y^2) \text{d}x \text{d}y = 2 \int \int_{D'_+} \sqrt(x^2 - y^2) \text{d}x \text{d}y = \int_1^2 (\int_0^x 2 \sqrt(x^2 - y^2) \text{d}y) \text{d}x = $
$ = \int_1^2 [x^2 arcsin(y/x) + y \sqrt{x^2 - y^2}]_0^x \text{d}x = \pi/2 \int_1^2 x^2 \text{d}x = \pi/2 [x^3/3]_1^2 = \pi/2 [8/3 - 1/3] = (7\pi)/6$
In realtà si ottiene lo stesso risultato anche con la procedura indicata da Quinzio, che però non so se ti è così familiare, dato che
"TS778LB":
Ho escluso il cambiamento di variabili perché abbiamo solo trattato il caso delle coordinate polari
considerando che se $x = x(u, v) = u \implies (\del x)/(\del u) = 1 $ e quindi in realtà $ |J| = u cos v $
"pilloeffe":
considerando che se $x = x(u, v) = u \implies (\del x)/(\del u) = 1 $ e quindi in realtà $ |J| = u cos v $
Ho corretto, grazie !
Prego, ma sono ancora errati i due integrali che hai scritto prima dello jacobiano... 
"Quinzio":
$ \int \int_(D'') u \cos v (u^2 \cos v)\ du \ dv = \int \int_(D'') u^3 \cos^2 v \ du \ dv $
Il fattore aggiuntivo $ u^2 cos v $ deriva dallo jacobiano:
"pilloeffe":
Prego, ma sono ancora errati i due integrali che hai scritto prima dello jacobiano...
Fatto...
Grazie ad entrambi per le risposte. Ho optato per la sostituzione $ y=(x+1)sin(t) $ e sono riuscito ad andare avanti. Approfitto di questo post per un altro dubbio:
Calcolare l'integrale
$ int int_(D)^() |x-y|dx dy \quadD={(x,y):0\lex\le1,x^2\>= y} $
1) La prima difficoltà la incontro nella rappresentazione del dominio. Seguendo le restrizioni delle due variabili ottengo un insieme illimitato inferiormente. In particolare la regione di piano illimitata sotto il grafico della parabola $ y=x^2 $ e compresa tra $ x=0\quadx=1 $. In tal caso non riuscirei a proseguire
2) Se invece limito la $ y $ tra l'asse $x$ ed il grafico della parabola, ottengo un dominio normale rispetto ad entrambi gli assi. In tale dominio avevo pensato che, essendo $ 0\lex^2-y $ ed $ 0\lex\le1 $ e $ y\ge0 $, allora $ 0\lex^2-y\lex-y $ e quindi $ |x-y|=x-y $. Da qui in poi so come procedere.
Il problema resta la rappresentazione del dominio
Calcolare l'integrale
$ int int_(D)^() |x-y|dx dy \quadD={(x,y):0\lex\le1,x^2\>= y} $
1) La prima difficoltà la incontro nella rappresentazione del dominio. Seguendo le restrizioni delle due variabili ottengo un insieme illimitato inferiormente. In particolare la regione di piano illimitata sotto il grafico della parabola $ y=x^2 $ e compresa tra $ x=0\quadx=1 $. In tal caso non riuscirei a proseguire
2) Se invece limito la $ y $ tra l'asse $x$ ed il grafico della parabola, ottengo un dominio normale rispetto ad entrambi gli assi. In tale dominio avevo pensato che, essendo $ 0\lex^2-y $ ed $ 0\lex\le1 $ e $ y\ge0 $, allora $ 0\lex^2-y\lex-y $ e quindi $ |x-y|=x-y $. Da qui in poi so come procedere.
Il problema resta la rappresentazione del dominio
Opterei per la proposta 2), cioè in realtà $D := {(x, y) \in \RR^2 : 0 \le x \le \ 1, x^2 \ge y \ge 0} $
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