Integrale doppio
Ciao a tutti,
Dovrei calcolare questo integrale
dove $ D_2=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}: x^2+16y^2\leq16, x\geq0, y\geq 0\} $ ma non riesco a parametrizzarlo in maniera decente.
Un'idea (non furba visto il risultato) era quella di utilizzare le coordinate ellittiche:
Il problema è che viene questo pacciugo $ int int_(D_2)^()e^{\frac{x^2}{4}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4}+y^2-1} dx dy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/2}e^{4\rho^2cos^2\theta+rho^2sin^2\theta}\abs{4\rho^2cos^2\theta+rho^2sin^2\theta-1}\ 4\rho\ d\rhod\theta $
DOMANDA: C'è un modo più furbo per esprimere la parametrizzazione in modo che l'integrale si riesca a calcolare? Come lo calcoloreste?
Dovrei calcolare questo integrale
$ int int_(D_2)^()e^{\frac{x^2}{4}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4}+y^2-1} dx dy, $
dove $ D_2=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}: x^2+16y^2\leq16, x\geq0, y\geq 0\} $ ma non riesco a parametrizzarlo in maniera decente.
Un'idea (non furba visto il risultato) era quella di utilizzare le coordinate ellittiche:
$ { ( x=4\rho\cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):}\qquad\text{con } rho\in[0,1]\text{ e } theta\in[0,\frac{\pi}{2}] $
Il problema è che viene questo pacciugo $ int int_(D_2)^()e^{\frac{x^2}{4}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4}+y^2-1} dx dy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/2}e^{4\rho^2cos^2\theta+rho^2sin^2\theta}\abs{4\rho^2cos^2\theta+rho^2sin^2\theta-1}\ 4\rho\ d\rhod\theta $
DOMANDA: C'è un modo più furbo per esprimere la parametrizzazione in modo che l'integrale si riesca a calcolare? Come lo calcoloreste?
Risposte
Ciao mauri54,
Sicuro che non ci sia un errore di stampa e non manchi un quadrato, cioè che l'integrale proposto non sia in realtà il seguente
$ \int \int_{D_2} e^{\frac{x^2}{4^2}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4^2}+y^2-1} \text{d}x \text{d}y $
o magari il seguente
$ \int \int_{D_2} e^{\frac{x^2}{4^2}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4}+y^2-1} \text{d}x \text{d}y $
ove $ D_2= {(x,y) \in \RR^2 : x^2+16y^2 \le 16, x \ge 0, y \ge 0} $ ?
Sicuro che non ci sia un errore di stampa e non manchi un quadrato, cioè che l'integrale proposto non sia in realtà il seguente
$ \int \int_{D_2} e^{\frac{x^2}{4^2}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4^2}+y^2-1} \text{d}x \text{d}y $
o magari il seguente
$ \int \int_{D_2} e^{\frac{x^2}{4^2}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4}+y^2-1} \text{d}x \text{d}y $
ove $ D_2= {(x,y) \in \RR^2 : x^2+16y^2 \le 16, x \ge 0, y \ge 0} $ ?
Prima di fare alcunchè, penso sia meglio ragionare sul valore assoluto e come spezzare il dominio.
Il valore assoluto è positivo quando $x^2+4y^2>=4$ mentre dal dominio abbiamo che $x^2+16y^2<=16$
Visto che consideriamo solo il primo quadrante abbiamo che le due ellissi si incontrano in (0,1) pertanto creiamo un nuovo dominio su cui integrare per cui $2sqrt(1-y^2)<=x<=4sqrt(1-y^2)$ e $0<=y<=1$
La seconda parte è quando $x^2+4y^2<=4$ quindi cambieremo di segno l'integrale che andremo a creare.
In questo caso le coordinate polari sono immediate $x=2rhocos(theta)$ e $y=rhosin(theta)$ e sostituendo avremo l'integrale $-int_0^(pi/2) int_0^1 e^(rho^2)(rho^2-1) 2rho drho d theta=pi*[ int_0^1 rhoe^(rho^2)drho-int_0^1 rho^3e^(rho^2)drho]$ che non è un problema.
Il primo integrale sarà $int_0^1 int_(2sqrt(1-y^2))^(4sqrt(1-y^2)) f(x,y) dxdy$ ma passerei alle medesime coordinate polari di cui sopra per avere $1<=rho<=2/sqrt(1+3sin^2(theta))$ e $0<=theta<=pi/2$
Così facendo abbiamo sostanzialmente gli integrali di prima di cui conosciamo già le soluzioni.
Quindi dovrebbe restare $int_0^(pi/2) [e^(rho^2)/2(rho^2-2)]_1^(2/sqrt(1+3sin^2(theta)))d theta$
Non ho fatto tutti i conti e ho saltato molti passaggi, quindi è possibile che vi siano errori.
Se quello è il problema...allora ci si deve sporcare le mani.
Il valore assoluto è positivo quando $x^2+4y^2>=4$ mentre dal dominio abbiamo che $x^2+16y^2<=16$
Visto che consideriamo solo il primo quadrante abbiamo che le due ellissi si incontrano in (0,1) pertanto creiamo un nuovo dominio su cui integrare per cui $2sqrt(1-y^2)<=x<=4sqrt(1-y^2)$ e $0<=y<=1$
La seconda parte è quando $x^2+4y^2<=4$ quindi cambieremo di segno l'integrale che andremo a creare.
In questo caso le coordinate polari sono immediate $x=2rhocos(theta)$ e $y=rhosin(theta)$ e sostituendo avremo l'integrale $-int_0^(pi/2) int_0^1 e^(rho^2)(rho^2-1) 2rho drho d theta=pi*[ int_0^1 rhoe^(rho^2)drho-int_0^1 rho^3e^(rho^2)drho]$ che non è un problema.
Il primo integrale sarà $int_0^1 int_(2sqrt(1-y^2))^(4sqrt(1-y^2)) f(x,y) dxdy$ ma passerei alle medesime coordinate polari di cui sopra per avere $1<=rho<=2/sqrt(1+3sin^2(theta))$ e $0<=theta<=pi/2$
Così facendo abbiamo sostanzialmente gli integrali di prima di cui conosciamo già le soluzioni.
Quindi dovrebbe restare $int_0^(pi/2) [e^(rho^2)/2(rho^2-2)]_1^(2/sqrt(1+3sin^2(theta)))d theta$
Non ho fatto tutti i conti e ho saltato molti passaggi, quindi è possibile che vi siano errori.
Se quello è il problema...allora ci si deve sporcare le mani.
"pilloeffe":
Ciao mauri54,
Sicuro che non ci sia un errore di stampa e non manchi un quadrato, cioè che l'integrale proposto non sia in realtà il seguente
$ \int \int_{D_2} e^{\frac{x^2}{4^2}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4^2}+y^2-1} \text{d}x \text{d}y $
o magari il seguente
$ \int \int_{D_2} e^{\frac{x^2}{4^2}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4}+y^2-1} \text{d}x \text{d}y $
ove $ D_2= {(x,y) \in \RR^2 : x^2+16y^2 \le 16, x \ge 0, y \ge 0} $ ?
Purtroppo no, è proprio così sul foglio di esercizi. Su $D_1$ ci riesco ma su $D_2$ no.
"Bokonon":
Prima di fare alcunchè, penso sia meglio ragionare sul valore assoluto e come spezzare il dominio.
Il valore assoluto è positivo quando $x^2+4y^2>=4$ mentre dal dominio abbiamo che $x^2+16y^2<=16$
Visto che consideriamo solo il primo quadrante abbiamo che le due ellissi si incontrano in (0,1) pertanto creiamo un nuovo dominio su cui integrare per cui $2sqrt(1-y^2)<=x<=4sqrt(1-y^2)$ e $0<=y<=1$
La seconda parte è quando $x^2+4y^2<=4$ quindi cambieremo di segno l'integrale che andremo a creare.
In questo caso le coordinate polari sono immediate $x=2rhocos(theta)$ e $y=rhosin(theta)$ e sostituendo avremo l'integrale $-int_0^(pi/2) int_0^1 e^(rho^2)(rho^2-1) 2rho drho d theta=pi*[ int_0^1 rhoe^(rho^2)drho-int_0^1 rho^3e^(rho^2)drho]$ che non è un problema.
Il primo integrale sarà $int_0^1 int_(2sqrt(1-y^2))^(4sqrt(1-y^2)) f(x,y) dxdy$ ma passerei alle medesime coordinate polari di cui sopra per avere $1<=rho<=2/sqrt(1+3sin^2(theta))$ e $0<=theta<=pi/2$
Così facendo abbiamo sostanzialmente gli integrali di prima di cui conosciamo già le soluzioni.
Quindi dovrebbe restare $int_0^(pi/2) [e^(rho^2)/2(rho^2-2)]_1^(2/sqrt(1+3sin^2(theta)))d theta$
Non ho fatto tutti i conti e ho saltato molti passaggi, quindi è possibile che vi siano errori.
Se quello è il problema...allora ci si deve sporcare le mani.
Hai ragione! Tutto giusto.
Rimane il problema di calcolare quell'inferno di integrale che è rimasto, ossia
$ int_(0)^{\frac{pi}{2} } (e^{\frac{4}{1+3\sin^2(theta)}}(\frac{4}{1+3\sin^2(theta))-2)+e) d\theta $
Grazie mille!
Prego, ma non ho la più pallida idea di come risolverlo 
Magari non ha nemmeno una soluzione non numerica...e forse facevano usare la "macchinetta" all'esame
Magari non ha nemmeno una soluzione non numerica...e forse facevano usare la "macchinetta" all'esame
Forse funziona un approccio per differenza: l'integrale su $D_2$ coincide con la differenza tra l'integrale che hai già calcolato su $D_1$ e l'integrale sulla regione $A$ nel primo quadrante delimitata dalla retta di equazione $x=0$ e dagli archi di ellisse $y=\frac{1}{4}\sqrt{16-x^2}$ e $y=\frac{1}{2}\sqrt{16-x^2}$.
Ossia $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ 0 \le x \le 4, \frac{\sqrt{16-x^2}}{4} \le y \le \frac{\sqrt{16-x^2}}{2}\}$, perciò prova a calcolare
$$\iint_{D_2} e^{\frac{x^2}{4}+y^2} \left|\frac{x^2}{4}+y^2-1 \right| \text{d}x \text{d}y$$
$$=\iint_{D_1} e^{\frac{x^2}{4}+y^2} \left|\frac{x^2}{4}+y^2-1 \right| \text{d}x \text{d}y-\iint_A e^{\frac{x^2}{4}+y^2} \left|\frac{x^2}{4}+y^2-1 \right| \text{d}x \text{d}y$$
Ossia $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ 0 \le x \le 4, \frac{\sqrt{16-x^2}}{4} \le y \le \frac{\sqrt{16-x^2}}{2}\}$, perciò prova a calcolare
$$\iint_{D_2} e^{\frac{x^2}{4}+y^2} \left|\frac{x^2}{4}+y^2-1 \right| \text{d}x \text{d}y$$
$$=\iint_{D_1} e^{\frac{x^2}{4}+y^2} \left|\frac{x^2}{4}+y^2-1 \right| \text{d}x \text{d}y-\iint_A e^{\frac{x^2}{4}+y^2} \left|\frac{x^2}{4}+y^2-1 \right| \text{d}x \text{d}y$$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo