Integrale doppio
Buongiorno,
Se D è il semicerchio di centro l'origine e raggio 2 contenuto nel semipiano y>0, allora l'integrale doppio su D di $f(x,y)=x^2/pi$ vale...
Ho pensato di risolverlo così:
$\int_-2^2 \int_0^sqrt(2-x^2) x^2/pi dydx$
ma non mi trovo con il risultato del libro secondo il quale dovrebbe uscire 2.
Forse ci sta un errore nel dominio di integrazione che no riesco a vedere...
Mi aiutate per favore, grazie.
Se D è il semicerchio di centro l'origine e raggio 2 contenuto nel semipiano y>0, allora l'integrale doppio su D di $f(x,y)=x^2/pi$ vale...
Ho pensato di risolverlo così:
$\int_-2^2 \int_0^sqrt(2-x^2) x^2/pi dydx$
ma non mi trovo con il risultato del libro secondo il quale dovrebbe uscire 2.
Forse ci sta un errore nel dominio di integrazione che no riesco a vedere...
Mi aiutate per favore, grazie.
Risposte
Il raggio del semicerchio è $2$, pertanto dovresti avere $\sqrt{4-x^2}$ come estremo superiore di integrazione in $\text{d}y$.
ok grazie. Fatta questa correzione gli estremi di integrazione sono giusti?
Perfetto ho svolto il calcolo e mi trovo con 2.
La difficoltà che ho riscontrato in questo tipo di esercizi sta proprio nello scrivere correttamente il dominio di integrazione.
Ad esempio in quest'altro esercizio:
2)L'integrale di $f(x,y)=18xy^2/(x^2+y^2)$ sulla regione piana $y>x$ e $1
in questo caso come ricavo il dominio di integrazione? Può derivare così:
$\int_-1^1 \int_-2^2 18xy^2/(x^2+y^2) dydx$
La difficoltà che ho riscontrato in questo tipo di esercizi sta proprio nello scrivere correttamente il dominio di integrazione.
Ad esempio in quest'altro esercizio:
2)L'integrale di $f(x,y)=18xy^2/(x^2+y^2)$ sulla regione piana $y>x$ e $1
in questo caso come ricavo il dominio di integrazione? Può derivare così:
$\int_-1^1 \int_-2^2 18xy^2/(x^2+y^2) dydx$
Ciao Pivot,
Piuttosto normale, specialmente all'inizio...
Assolutamente no...
Consiglio: prova a fare un disegno dell'insieme $D := {(x, y) \in \RR^2 : 1 < x^2 + y^2 < 4, y > x } $
"Pivot":
La difficoltà che ho riscontrato in questo tipo di esercizi sta proprio nello scrivere correttamente il dominio di integrazione.
Piuttosto normale, specialmente all'inizio...
"Pivot":
Può derivare così:
$ \int_-1^1 \int_-2^2 18xy^2/(x^2+y^2) dydx $
Assolutamente no...
Consiglio: prova a fare un disegno dell'insieme $D := {(x, y) \in \RR^2 : 1 < x^2 + y^2 < 4, y > x } $
Allora mi pare siano due cerchi concentrici con raggio rispettivamente 1 e 2. Aggiungendo la condizione y>x vado a selezionale il primo e secondo quadrante ed esce un semianello... quindi gli estremi lungo x sono -4 a 4 e lungo y $sqrt(4-x^2)$ a $sqrt(1-x^2)$... però non mi trovo con il risultato che dice $7sqrt2$
"Pivot":
Allora mi pare siano due cerchi concentrici con raggio rispettivamente 1 e 2. Aggiungendo la condizione y>x vado a selezionare il primo e secondo (in realtà anche metà del terzo...) quadrante ed esce un semianello...
Da tutto ciò dovresti dedurre che conviene passare alle coordinate...
Anche a me risulta $7 sqrt2 $
Giusto y>x è la bisettrice primo e terzo quadrante! cmq. passando a coordinate polari $x=rhocos(theta)$ e $y=rhosen(theta)$ mi trovo... grazie
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