Integrale doppio
buonasera, sto trovando difficoltà a capire come risolvere l'integrale della funzione $f(x,y)=xy$ $dxdy$ sull'insieme $E={x>=0;0<=y<=x^2;x^2+y^2-2x<=0}$
ho disegnato l'insieme ma non riesco a comprendere come ragionare per trovare entro quali valori di $x$ e di $y$ debba integrare la $f(x,y)$
dal grafico e dalle condizione di $E$ ho ipotizzato che $y$ debba soddisfare $0<=y<=x^2$ mentre la $x$ deve soddisfare $x(x-1)<=0$ e dunque $0<=x<=1$.
potrebbe essere corretto?
Grazie
ho disegnato l'insieme ma non riesco a comprendere come ragionare per trovare entro quali valori di $x$ e di $y$ debba integrare la $f(x,y)$
dal grafico e dalle condizione di $E$ ho ipotizzato che $y$ debba soddisfare $0<=y<=x^2$ mentre la $x$ deve soddisfare $x(x-1)<=0$ e dunque $0<=x<=1$.
potrebbe essere corretto?
Grazie
Risposte
la regione $E$ è contenuta nella parte di semicerchio superiore ,delimitato dalla circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$, che si trova al di sotto della parabola $y=x^2$
la circonferenza e la parabola si intersecano in $(0,0)$ e $(1,1)$
comincia a ragionare su questo
la circonferenza e la parabola si intersecano in $(0,0)$ e $(1,1)$
comincia a ragionare su questo
Quello dal grafico lo avevo notato facendo anche io conti puri a mano.
Si che debba fare un integrale doppio l'ho compreso, ma non mi è chiaro su quali valori debba variare la $y$ e su quali la $x$ all'interno dell'insieme $E$.
All'inizio,sbagliando, pensavo che $0<=x<=2$ e $0<=y<=1$ ma poi non mi torno il risultato della soluzione!
Si che debba fare un integrale doppio l'ho compreso, ma non mi è chiaro su quali valori debba variare la $y$ e su quali la $x$ all'interno dell'insieme $E$.
All'inizio,sbagliando, pensavo che $0<=x<=2$ e $0<=y<=1$ ma poi non mi torno il risultato della soluzione!
"Aletzunny":Non può essere corretto, perché così è come se integrassi solamente la regione al di sotto della parabola $y=x^2$ nell'intervallo $x\in[0,1]$ contenuta nel primo quadrante.
dal grafico e dalle condizione di $E$ ho ipotizzato che y debba soddisfare $0≤y≤x^2$ mentre la $x$ deve soddisfare $x(x−1)≤0$ e dunque $0≤x≤1$.
Per lo stesso motivo non poteva essere corretto $0 \leq x \leq 2$ e $0 \leq y \leq 1$, quest'ultimo insieme è un rettangolo.
Segui il suggerimento di l'abatefarina e ragiona sulle intersezioni (se proprio vuoi considerarlo come insieme normale rispetto all'asse $x$).
quando $x$ varia tra $0$ e $1$ la $y$ varia tra $0$ e $x^2$
quando $x$ varia tra $1$ e $2$ la $y$ varia tra $0$ e $sqrt(2x-x^2)$
quando $x$ varia tra $1$ e $2$ la $y$ varia tra $0$ e $sqrt(2x-x^2)$
"Mephlip":Non può essere corretto, perché così è come se integrassi solamente la regione al di sotto della parabola $y=x^2$ nell'intervallo $x\in[0,1]$ contenuta nel primo quadrante.
[quote="Aletzunny"]dal grafico e dalle condizione di $E$ ho ipotizzato che y debba soddisfare $0≤y≤x^2$ mentre la $x$ deve soddisfare $x(x−1)≤0$ e dunque $0≤x≤1$.
Per lo stesso motivo non poteva essere corretto $0 \leq x \leq 2$ e $0 \leq y \leq 1$, quest'ultimo insieme è un rettangolo.
Segui il suggerimento di l'abatefarina e ragiona sulle intersezioni (se proprio vuoi considerarlo come insieme normale rispetto all'asse $x$).[/quote]
Ecco! Nonostante il grafico l'ho fatto corretto sto trovando davvero tante difficoltà a svolgere gli integrali doppi!
Ora, che mi è stato scritto, sembra tutto chiaro e con molto più senso!
Grazie
"l'abatefarina":
quando $x$ varia tra $0$ e $1$ la $y$ varia tra $0$ e $x^2$
quando $x$ varia tra $1$ e $2$ la $y$ varia tra $0$ e $sqrt(2x-x^2)$
Grazie mille, in effetti cosi ha senso!
Aletzunny, guarda che il tuo dominio d'integrazione è normale all'asse $y$... Potresti provare a vedere se i calcoli sono più semplici così.
"gugo82":
Aletzunny, guarda che il tuo dominio d'integrazione è normale all'asse $y$... Potresti provare a vedere se i calcoli sono più semplici così.
Ho provato a risolverlo cosi come suggerito precedente i conti sono venuti abbastanza semplici, trovando un risultato di $13/24$.
Tuttavia sono curioso di capire: cosa si intende per normale all'asse $y$ e come ciò influisce sulla semplificazione del risultato?
Grazie
Scusa, ma le formule di riduzione sai cosa sono e quando si applicano?
"gugo82":
Scusa, ma le formule di riduzione sai cosa sono e quando si applicano?
Per il programma affrontato fin'ora non ho sentito mai parlare di formule di riduzione...
Ho sempre trovato integrali di questo tipo...
Dove il difficile sta nel sapere gestire $E$
Non è possibile.
Come le chiami le formule che ti consentono il calcolo, tipo quella che hai usato qui, cioè:
$intint_E f(x,y)"d"x"d"y = int_a^b (int_(alpha (x))^(beta(x)) f(x,y) "d"y)"d"x$?
Come le chiami le formule che ti consentono il calcolo, tipo quella che hai usato qui, cioè:
$intint_E f(x,y)"d"x"d"y = int_a^b (int_(alpha (x))^(beta(x)) f(x,y) "d"y)"d"x$?
Si si quelle le ho viste! Semplicemente non ci sono state chiamate formule di riduzione...
Beh, si chiamano così.
Oltre a quella segnalata sopra, che si applica quando il dominio d’integrazione è normale rispetto all’asse $x$, cioè se $E := \{ a<= x <= b,\ alpha(x) <= y <= beta(x)\}$ (con $alpha, beta : [a,b] -> RR$ ed $alpha(x) <= beta(x)$ in $[a,b]$), c'è anche l’altra:
$ intint_E f(x,y)"d"x"d"y = int_alpha^beta (int_(a (y))^(b(y)) f(x,y) "d"x)"d"y $
che si applica quando $E$ è normale all’asse $y$, ossia quando $E := \{ alpha <= y <= beta,\ a(y) <= x <= b(y)\}$ (con $a, b : [alpha,beta] -> RR$ ed $a(y) <= b(y)$ in $[alpha,beta]$).
Evidentemente, esistono casi in cui il dominio d’integrazione è simultaneamente normale all’asse $x$ ed all’asse $y$, quindi le formule si possono applicare entrambe e bisogna scegliere quale è più conveniente.
Nel caso che hai davanti:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
text([1.25, 0.33],"E");
strokewidth=2; stroke="red";
plot("x^2", 0,1);
arc([2,0], [1,1],1);
line([0,0],[2,0]);[/asvg]
se consideri $E$ normale rispetto ad $x$ la funzione $beta$ che delimita superiormente il dominio è definita per casi:
$beta(x) := \{(x^2, text(, se ) 0<= x <=1), (sqrt(2x - x^2), text(, se ) 1<= x <=2):}$
(mentre la funzione che delimita inferiormente $E$ è quella nulla $alpha(x) := 0$), quindi il calcolo dell’integrale interno (quello rispetto ad $y$) va fatto usando la proprietà additiva.
Tuttavia, se cambi il punto di vista e consideri il dominio normale rispetto ad $y$ non c'è bisogno di usare proprietà dell’integrale nel calcolo: infatti il tuo dominio è individuato dalle limitazioni:
$0<= y <=1, \ sqrt(y) <= x <= 1 + sqrt(1-y^2)$
(che si ottengono esplicitando le equazioni dei bordi “curvi” rispetto ad $x$ anziché rispetto ad $y$) e perciò:
$I = int_0^1( int_(sqrt(y))^(1+sqrt(1-y^2)) xy text( d) x) text(d) y$.
Oltre a quella segnalata sopra, che si applica quando il dominio d’integrazione è normale rispetto all’asse $x$, cioè se $E := \{ a<= x <= b,\ alpha(x) <= y <= beta(x)\}$ (con $alpha, beta : [a,b] -> RR$ ed $alpha(x) <= beta(x)$ in $[a,b]$), c'è anche l’altra:
$ intint_E f(x,y)"d"x"d"y = int_alpha^beta (int_(a (y))^(b(y)) f(x,y) "d"x)"d"y $
che si applica quando $E$ è normale all’asse $y$, ossia quando $E := \{ alpha <= y <= beta,\ a(y) <= x <= b(y)\}$ (con $a, b : [alpha,beta] -> RR$ ed $a(y) <= b(y)$ in $[alpha,beta]$).
Evidentemente, esistono casi in cui il dominio d’integrazione è simultaneamente normale all’asse $x$ ed all’asse $y$, quindi le formule si possono applicare entrambe e bisogna scegliere quale è più conveniente.
Nel caso che hai davanti:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
text([1.25, 0.33],"E");
strokewidth=2; stroke="red";
plot("x^2", 0,1);
arc([2,0], [1,1],1);
line([0,0],[2,0]);[/asvg]
se consideri $E$ normale rispetto ad $x$ la funzione $beta$ che delimita superiormente il dominio è definita per casi:
$beta(x) := \{(x^2, text(, se ) 0<= x <=1), (sqrt(2x - x^2), text(, se ) 1<= x <=2):}$
(mentre la funzione che delimita inferiormente $E$ è quella nulla $alpha(x) := 0$), quindi il calcolo dell’integrale interno (quello rispetto ad $y$) va fatto usando la proprietà additiva.
Tuttavia, se cambi il punto di vista e consideri il dominio normale rispetto ad $y$ non c'è bisogno di usare proprietà dell’integrale nel calcolo: infatti il tuo dominio è individuato dalle limitazioni:
$0<= y <=1, \ sqrt(y) <= x <= 1 + sqrt(1-y^2)$
(che si ottengono esplicitando le equazioni dei bordi “curvi” rispetto ad $x$ anziché rispetto ad $y$) e perciò:
$I = int_0^1( int_(sqrt(y))^(1+sqrt(1-y^2)) xy text( d) x) text(d) y$.
Da $0<=y<=x^2$ ho capito che trovo $x=sqrt(y)$ mentre invece non ho capito come si trova l'altro estremo per la $x$;
Da $x^2-2x+y^2=0$ non capisco come ricavare la x proposta!
Grazie
Da $x^2-2x+y^2=0$ non capisco come ricavare la x proposta!
Grazie
Vatti a rispolverare la Geometria Analitica del liceo.
Qual è l’equazione di una circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$?
Qual è l’equazione di una circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$?
Ho capito!
Devo risolvere
$x^2-2x+y^2=0$ come un'equazione di secondo grado in $x$ e poi prendere la soluzione che corrisponde al mio grafico
Devo risolvere
$x^2-2x+y^2=0$ come un'equazione di secondo grado in $x$ e poi prendere la soluzione che corrisponde al mio grafico
@Aletzunny
Perchè non sommi $+1$ e $-1$ al primo membro?
$(x^2-2x+1)+y^2-1=0 rArr (x-1)^2+y^2=1$
Perchè non sommi $+1$ e $-1$ al primo membro?
$(x^2-2x+1)+y^2-1=0 rArr (x-1)^2+y^2=1$
si vero! cosi sarebbe tutto molto più veloce
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