Integrale doppio
Salve, avevo un piccolo dubbio sullo svolgimento del seguente esercizio:
Calcolare il seguente integrale doppio:
Il mio dubbio principalmente era dovuto alla presenza del $x^2+2y^2<=9$ che è un'ellisse.
Ciò rende impossibile applicare le coordinate polari (in realtà si potrebbe pure fare ma se pongo ad esempio $t=sqrt(2)y$ non riesco a trasformare in coordinate polari la circonferenza!), avete qualche suggerimento per lo svolgimento di questo integrale?
Io ho provato a svolgere l'integrale rispetto a y, cioè:
ottenendo un'integrale rispetto alla sola variabile x, secondo voi può funzionare?
Calcolare il seguente integrale doppio:
$int int_(A) (x^2+2y^2)/(xy)dx dy $
$A={(x,y)in R^2: x^2+2y^2<=9 ; x^2+y^2>=1 ; sqrt(3)x<=y<=x/sqrt(3)}$
$A={(x,y)in R^2: x^2+2y^2<=9 ; x^2+y^2>=1 ; sqrt(3)x<=y<=x/sqrt(3)}$
Il mio dubbio principalmente era dovuto alla presenza del $x^2+2y^2<=9$ che è un'ellisse.
Ciò rende impossibile applicare le coordinate polari (in realtà si potrebbe pure fare ma se pongo ad esempio $t=sqrt(2)y$ non riesco a trasformare in coordinate polari la circonferenza!), avete qualche suggerimento per lo svolgimento di questo integrale?
Io ho provato a svolgere l'integrale rispetto a y, cioè:
$int int_(sqrt(3)x)^(x/sqrt(3)) (x^2+2y^2)/(xy)\ dx dy $
ottenendo un'integrale rispetto alla sola variabile x, secondo voi può funzionare?
Risposte
Ciao! Il tuo svolgimento non è corretto, non puoi trascurare le altre limitazioni sulla $y$ che vengono dall'insieme $A$; così è come se avessi integrato solamente la parte di insieme compresa tra le due rette $y=\sqrt{3}x$ ed $y=\frac{x}{\sqrt{3}}$.
Hai fatto una bozza di disegno dell'insieme $A$? Se l'avessi fatto ti saresti reso subito conto che l'integrale non può essere impostato così.
Hai fatto una bozza di disegno dell'insieme $A$? Se l'avessi fatto ti saresti reso subito conto che l'integrale non può essere impostato così.
Caspita è vero, me ne ero dimenticato!
si l'ho fatto un disegno, e come è facile intuire è quella parte di piano compresa tra un cerchio un'ellisse e due rette, però mi rendo conto che le coordinate polari non mi possono essere d'aiuto nello svolgere l'integrale...
Avevo anche pensato che potrei impostare l'integrale come somma (o differenza) di integrali andando a spezzare il mio dominio opportunamente.
"Mephlip":
Hai fatto una bozza di disegno dell'insieme $ A $? Se l'avessi fatto ti saresti reso subito conto che l'integrale non può essere impostato così.
si l'ho fatto un disegno, e come è facile intuire è quella parte di piano compresa tra un cerchio un'ellisse e due rette, però mi rendo conto che le coordinate polari non mi possono essere d'aiuto nello svolgere l'integrale...
Avevo anche pensato che potrei impostare l'integrale come somma (o differenza) di integrali andando a spezzare il mio dominio opportunamente.
Il problema è che in coordinate polari viene bene il cerchio ma diventano infernali l'ellisse e le rette, in coordinate ellittiche viene bene l'ellisse ma diventano infernali le rette e il cerchio; perciò l'unica cosa sensata apparentemente è armarsi di pazienza e farlo in cartesiane.
Anche farlo come normale rispetto all'asse $y$ sembra non aiutare.
Perciò sì, ti direi di sommare tre integrali ricavando le ascisse dei punti di intersezione; prova ad impostarlo e vediamo insieme se è venuto bene!
Ti consiglio anche di aspettare pareri di utenti più esperti di me, forse c'è un modo più sbrigativo che non vedo ora: ad esempio, può sembrare sensato calcolare l'area del settore ellittico individuato dalle due rette e sottrarre l'area del settore circolare individuato dalle due rette.
Anche farlo come normale rispetto all'asse $y$ sembra non aiutare.
Perciò sì, ti direi di sommare tre integrali ricavando le ascisse dei punti di intersezione; prova ad impostarlo e vediamo insieme se è venuto bene!
Ti consiglio anche di aspettare pareri di utenti più esperti di me, forse c'è un modo più sbrigativo che non vedo ora: ad esempio, può sembrare sensato calcolare l'area del settore ellittico individuato dalle due rette e sottrarre l'area del settore circolare individuato dalle due rette.
Grazie, sei stato comunque di aiuto, attendo qualche altra risposta e nel frattempo provo a svolgere l'integrale in coordinate cartesiane.
Ciao Ema6798,
Invece io vado controcorrente e ci provo con le coordinate polari...
Dal dominio $A={(x,y) \in \RR^2: x^2+2y^2<=9 ; x^2+y^2>=1 ; sqrt(3)x<=y<=x/sqrt(3)}$ passando in coordinate polari si ottiene:
$(7\pi)/6 <= \theta <= (8\pi)/6 $
Poi dal cerchio di raggio $1$ si ottiene semplicemente $\rho >= 1 $, mentre l'altra limitazione per $\rho $ sarà in funzione di $\theta $:
$x^2 + 2y^2 <= 9 \implies \rho^2 cos^2\theta + 2 \rho^2 sin^2\theta <= 9 \implies \rho^2 <= 9/(1 + sin^2\theta) \implies \rho <= 3/sqrt{1 + sin^2\theta}$
Perciò in definitiva $1 <= \rho <= 3/sqrt{1 + sin^2\theta} $ e si ha:
$ \int \int_A (x^2+2y^2)/(xy)\text{d}x \text{d}y = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} (\int_1^{3/sqrt{1 + sin^2\theta}} (\rho^2 cos^2\theta + 2\rho^2 sin^2\theta)/(\rho^2 cos\theta sin\theta)\rho \text{d}\rho) \text{d}\theta = $
$ = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} (\int_1^{3/sqrt{1 + sin^2\theta}} (cos^2\theta + 2 sin^2\theta)/(cos\theta sin\theta)\rho \text{d}\rho) \text{d}\theta = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} (1 + sin^2\theta)/(cos\theta sin\theta)(\int_1^{3/sqrt{1 + sin^2\theta}} \rho \text{d}\rho) \text{d}\theta = $
$ = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} (1 + sin^2\theta)/(cos\theta sin\theta) [\rho^2/2]_1^{3/sqrt{1 + sin^2\theta}} \text{d}\theta = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} (1 + sin^2\theta)/(cos\theta sin\theta) [9/(1 + sin^2\theta) - 1/2] \text{d}\theta = $
$ = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} [9/(cos\theta sin\theta) - (1 + sin^2\theta)/(2cos\theta sin\theta)] \text{d}\theta = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} [9/(cos\theta sin\theta) - 1/(2cos\theta sin\theta) - (sin^2\theta)/(2cos\theta sin\theta)] \text{d}\theta = $
$ = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} [9/(cos\theta sin\theta) - 1/(2cos\theta sin\theta) - (sin\theta)/(2cos\theta)] \text{d}\theta = $
$ = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} [9(sin^2\theta + cos^2 \theta)/(cos\theta sin\theta) - (sin^2 \theta + cos^2 \theta)/(2cos\theta sin\theta) - (sin\theta)/(2cos\theta)] \text{d}\theta =... = (33 ln 3)/4 $
Invece io vado controcorrente e ci provo con le coordinate polari...
Dal dominio $A={(x,y) \in \RR^2: x^2+2y^2<=9 ; x^2+y^2>=1 ; sqrt(3)x<=y<=x/sqrt(3)}$ passando in coordinate polari si ottiene:
$(7\pi)/6 <= \theta <= (8\pi)/6 $
Poi dal cerchio di raggio $1$ si ottiene semplicemente $\rho >= 1 $, mentre l'altra limitazione per $\rho $ sarà in funzione di $\theta $:
$x^2 + 2y^2 <= 9 \implies \rho^2 cos^2\theta + 2 \rho^2 sin^2\theta <= 9 \implies \rho^2 <= 9/(1 + sin^2\theta) \implies \rho <= 3/sqrt{1 + sin^2\theta}$
Perciò in definitiva $1 <= \rho <= 3/sqrt{1 + sin^2\theta} $ e si ha:
$ \int \int_A (x^2+2y^2)/(xy)\text{d}x \text{d}y = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} (\int_1^{3/sqrt{1 + sin^2\theta}} (\rho^2 cos^2\theta + 2\rho^2 sin^2\theta)/(\rho^2 cos\theta sin\theta)\rho \text{d}\rho) \text{d}\theta = $
$ = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} (\int_1^{3/sqrt{1 + sin^2\theta}} (cos^2\theta + 2 sin^2\theta)/(cos\theta sin\theta)\rho \text{d}\rho) \text{d}\theta = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} (1 + sin^2\theta)/(cos\theta sin\theta)(\int_1^{3/sqrt{1 + sin^2\theta}} \rho \text{d}\rho) \text{d}\theta = $
$ = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} (1 + sin^2\theta)/(cos\theta sin\theta) [\rho^2/2]_1^{3/sqrt{1 + sin^2\theta}} \text{d}\theta = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} (1 + sin^2\theta)/(cos\theta sin\theta) [9/(1 + sin^2\theta) - 1/2] \text{d}\theta = $
$ = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} [9/(cos\theta sin\theta) - (1 + sin^2\theta)/(2cos\theta sin\theta)] \text{d}\theta = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} [9/(cos\theta sin\theta) - 1/(2cos\theta sin\theta) - (sin^2\theta)/(2cos\theta sin\theta)] \text{d}\theta = $
$ = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} [9/(cos\theta sin\theta) - 1/(2cos\theta sin\theta) - (sin\theta)/(2cos\theta)] \text{d}\theta = $
$ = \int_{(7\pi)/6}^{(8\pi)/6} [9(sin^2\theta + cos^2 \theta)/(cos\theta sin\theta) - (sin^2 \theta + cos^2 \theta)/(2cos\theta sin\theta) - (sin\theta)/(2cos\theta)] \text{d}\theta =... = (33 ln 3)/4 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo