Integrale doppio
Salve a tutti , ho risolto questo integrale doppio ma non riesco a trovare l'errore :
$ int_(A)^() abs (x-y) dxdy
A={(x,y)in R^2 : x+y<=2,x>=0,y>=0} $
Per lo studio del modulo, ho fatto :
$ abs(x-y)=x-y <=>x-y>=0->x>=y$
$abs(x-y)=y-x<=>x-y<0->x
Di conseguenza poiché la retta $y=x$ divide il triangolo che si viene a creare (studiando il dominio) ,in due triangoli uguali , che a sua volta vengono divisi in altri 2 triangoli uguali dalle rette $y=1$ e $x=1$ , allora posso scrivere che $ int_(A)^() abs (x-y) dxdy = 4int_D (x-y)dxdy$ , dove
$D={(x,y)in R^2 : 0<=x<=1(0<=y<=x)}$.Ho provato a risolvere quest'ultimo integrale, ma ottengo il risultato dimezzato cioé $2/3$,il risultato corretto dovrebbe essere $4/3$
$ int_(A)^() abs (x-y) dxdy
A={(x,y)in R^2 : x+y<=2,x>=0,y>=0} $
Per lo studio del modulo, ho fatto :
$ abs(x-y)=x-y <=>x-y>=0->x>=y$
$abs(x-y)=y-x<=>x-y<0->x
Di conseguenza poiché la retta $y=x$ divide il triangolo che si viene a creare (studiando il dominio) ,in due triangoli uguali , che a sua volta vengono divisi in altri 2 triangoli uguali dalle rette $y=1$ e $x=1$ , allora posso scrivere che $ int_(A)^() abs (x-y) dxdy = 4int_D (x-y)dxdy$ , dove
$D={(x,y)in R^2 : 0<=x<=1(0<=y<=x)}$.Ho provato a risolvere quest'ultimo integrale, ma ottengo il risultato dimezzato cioé $2/3$,il risultato corretto dovrebbe essere $4/3$
Risposte
Ciao Salvy,
Dove vedi tutti questi triangoli?
Se si prova a disegnare $A = {(x,y) \in \RR^2 : y <= - x + 2, x >= 0, y >= 0}$ non è difficile rendersi conto che ci si trova nel primo quadrante e c'è un unico triangolo avente vertici nei punti $O(0,0) $, $ A(2,0 )$ e $B(0, 2) $.
A questo punto se si traccia la retta $y = x $ bisettrice del primo quadrante derivante dallo studio di $|x - y|$ che hai già svolto, si vede subito che essa interseca la retta $y = - x + 2 $ nel punto $C(1, 1) $; quindi i triangoli sono $2$ e si ha:
$\int \int_A |x-y| \text{d}x\text{d}y = \int_0^1 \int_0^x (x - y) \text{d}y\text{d}x + \int_0^1 \int_x^{2 - x} (y - x) \text{d}y\text{d}x + \int_1^2 \int_0^{2 - x} (x - y) \text{d}y\text{d}x = $
$ = \int_0^1 [xy - y^2/2]_0^x \text{d}x + \int_0^1 [y^2/2 - xy]_x^{2 - x} \text{d}x + \int_1^2 [xy - y^2/2]_0^{2 - x} \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x^2/2 \text{d}x + \int_0^1 [(2 - x)^2/2 - x(2 - x) - x^2/2 + x^2] \text{d}x + \int_1^2 [x(2 - x) - (2 - x)^2/2] \text{d}x = $
$ = 1/6 + \int_0^1 [(x^2 - 4x + 4)/2 - 2x + x^2 - x^2/2 + x^2] \text{d}x + \int_1^2 [2x - x^2 - (x^2 - 4x + 4)/2] \text{d}x = $
$ = 1/6 + \int_0^1 [- 2x + 2 - 2x + 2x^2] \text{d}x + \int_1^2 [2x - x^2 - x^2/2 + 2x - 2] \text{d}x = $
$ = 1/6 + 2\int_0^1 (x - 1)^2 \text{d}x + \int_1^2 [- 3/2 x^2 + 4x - 2] \text{d}x = 1/6 + 2/3 + 1/2 = 1/6 + 4/6 + 3/6 = 8/6 = 4/3 $
Dove vedi tutti questi triangoli?
Se si prova a disegnare $A = {(x,y) \in \RR^2 : y <= - x + 2, x >= 0, y >= 0}$ non è difficile rendersi conto che ci si trova nel primo quadrante e c'è un unico triangolo avente vertici nei punti $O(0,0) $, $ A(2,0 )$ e $B(0, 2) $.
A questo punto se si traccia la retta $y = x $ bisettrice del primo quadrante derivante dallo studio di $|x - y|$ che hai già svolto, si vede subito che essa interseca la retta $y = - x + 2 $ nel punto $C(1, 1) $; quindi i triangoli sono $2$ e si ha:
$\int \int_A |x-y| \text{d}x\text{d}y = \int_0^1 \int_0^x (x - y) \text{d}y\text{d}x + \int_0^1 \int_x^{2 - x} (y - x) \text{d}y\text{d}x + \int_1^2 \int_0^{2 - x} (x - y) \text{d}y\text{d}x = $
$ = \int_0^1 [xy - y^2/2]_0^x \text{d}x + \int_0^1 [y^2/2 - xy]_x^{2 - x} \text{d}x + \int_1^2 [xy - y^2/2]_0^{2 - x} \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x^2/2 \text{d}x + \int_0^1 [(2 - x)^2/2 - x(2 - x) - x^2/2 + x^2] \text{d}x + \int_1^2 [x(2 - x) - (2 - x)^2/2] \text{d}x = $
$ = 1/6 + \int_0^1 [(x^2 - 4x + 4)/2 - 2x + x^2 - x^2/2 + x^2] \text{d}x + \int_1^2 [2x - x^2 - (x^2 - 4x + 4)/2] \text{d}x = $
$ = 1/6 + \int_0^1 [- 2x + 2 - 2x + 2x^2] \text{d}x + \int_1^2 [2x - x^2 - x^2/2 + 2x - 2] \text{d}x = $
$ = 1/6 + 2\int_0^1 (x - 1)^2 \text{d}x + \int_1^2 [- 3/2 x^2 + 4x - 2] \text{d}x = 1/6 + 2/3 + 1/2 = 1/6 + 4/6 + 3/6 = 8/6 = 4/3 $
"pilloeffe":
Ciao Salvy,
Dove vedi tutti questi triangoli?
Se si prova a disegnare $A = {(x,y) \in \RR^2 : y <= - x + 2, x >= 0, y >= 0}$ non è difficile rendersi conto che ci si trova nel primo quadrante e c'è un unico triangolo avente vertici nei punti $O(0,0) $, $ A(2,0 )$ e $B(0, 2) $.
A questo punto se si traccia la retta $y = x $ bisettrice del primo quadrante derivante dallo studio di $|x - y|$ che hai già svolto, si vede subito che essa interseca la retta $y = - x + 2 $ nel punto $C(1, 1) $; quindi i triangoli sono $2$ e si ha:
$\int \int_A |x-y| \text{d}x\text{d}y = \int_0^1 \int_0^x (x - y) \text{d}y\text{d}x + \int_0^1 \int_x^{2 - x} (y - x) \text{d}y\text{d}x + \int_1^2 \int_0^{2 - x} (x - y) \text{d}y\text{d}x = $
$ = \int_0^1 [xy - y^2/2]_0^x \text{d}x + \int_0^1 [y^2/2 - xy]_x^{2 - x} \text{d}x + \int_1^2 [xy - y^2/2]_0^{2 - x} \text{d}x = $
$ = \int_0^1 x^2/2 \text{d}x + \int_0^1 [(2 - x)^2/2 - x(2 - x) - x^2/2 + x^2] \text{d}x + \int_1^2 [x(2 - x) - (2 - x)^2/2] \text{d}x = $
$ = 1/6 + \int_0^1 [(x^2 - 4x + 4)/2 - 2x + x^2 - x^2/2 + x^2] \text{d}x + \int_1^2 [2x - x^2 - (x^2 - 4x + 4)/2] \text{d}x = $
$ = 1/6 + \int_0^1 [- 2x + 2 - 2x + 2x^2] \text{d}x + \int_1^2 [2x - x^2 - x^2/2 + 2x - 2] \text{d}x = $
$ = 1/6 + 2\int_0^1 (x - 1)^2 \text{d}x + \int_1^2 [- 3/2 x^2 + 4x - 2] \text{d}x = 1/6 + 2/3 + 1/2 = 1/6 + 4/6 + 3/6 = 8/6 = 4/3 $
Gli altri due triangoli si creano tracciando la retta $x=1$ e $y=1$,di conseguenza i due triangoli che hai trovato tu vengono divisi a metà, l'integrale di partenza dunque, dovrebbe essere 4 volte l'integrale calcolato su un triangolo dove : $0<=x<=1 e 0<=y<=x$
Beh, ma non è un'area, cioè l'integrale non è $\int\int_A \text{d}x\text{d}y $, ma $\int\int_A |x - y| \text{d}x\text{d}y $:
perché complicarsi la vita considerando i $4 $ triangoli che hai menzionato?
perché complicarsi la vita considerando i $4 $ triangoli che hai menzionato?
A prescindere dai conti, mancano delle considerazioni essenziali sulle eventuali simmetrie dell'integranda (che tu sembri ignorare). Per esempio, se \( T_1 \) è il triangolo di vertici \( (0,0), (1,0) \text{ e } (1,1) \) e \(T_2\) è il triangolo di vertici \( (1,0), (1,1) \text{ e } (2,0) \), la mappa che manda \( T_2 \) in \(T_1 \) è la riflessione \(r: (x,y) \mapsto (-x+2,y ) := (x',y') \). Ora \[ \int_{T_2} f (x,y) \, dx \,dy = \int_{T_2} |x-y| \, dx \,dy = \int_{T_1} |2-x'-y'| \, dx' \, dy' \ne \int_{T_1} |x-y| \, dx \, dy. \] La conclusione è che non è vero che \[ \int_A f(x,y) \, dx \,dy = 4 \int_D f(x,y) \, dx \, dy. \]
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
A prescindere dai conti, mancano delle considerazioni essenziali sulle eventuali simmetrie dell'integranda (che tu sembri ignorare). Per esempio, se \( T_1 \) è il triangolo di vertici \( (0,0), (1,0) \text{ e } (1,1) \) e \(T_2\) è il triangolo di vertici \( (1,0), (1,1) \text{ e } (2,0) \), la mappa che manda \( T_2 \) in \(T_1 \) è la riflessione \(r: (x,y) \mapsto (-x+2,y ) := (x',y') \). Ora \[ \int_{T_2} f (x,y) \, dx \,dy = \int_{T_2} |x-y| \, dx \,dy = \int_{T_1} |2-x'-y'| \, dx' \, dy' \ne \int_{T_1} |x-y| \, dx \, dy. \] La conclusione è che non è vero che \[ \int_A f(x,y) \, dx \,dy = 4 \int_D f(x,y) \, dx \, dy. \]
ma non è vero perché l'integranda non è simmetrica?
"pilloeffe":
Beh, ma non è un'area, cioè l'integrale non è $\int\int_A \text{d}x\text{d}y $, ma $\int\int_A |x - y| \text{d}x\text{d}y $:
perché complicarsi la vita considerando i $4 $ triangoli che hai menzionato?
Pensavo fosse la via più semplice , anche perché ho fatto un esercizio simile e utilizzando questo ragionamento sono riuscito a risolverlo, probabilmente perché avevo un'integranda simmetrica...
La dimostrazione sta scritta nel mio post. Poi pensa al caso unidimensionale; prendi la funzione \( f(x) = x^3 \) e integrala su \( [-1,1] \). E' vero che "\( [-1,0]\) è lo stesso intervallo che \( [0,1] \)" (leggi: l'uno è diffeomorfo all'altro), ma ovviamente \( \int_{[-1,0]} f \ne \int_{[0,1]} f \) (in questo caso solo il segno cambia perché la funzione è dispari, ma puoi divertirti a costruire un esempio in cui cambia anche il modulo). Stesso principio qui. Fare attenzione alle simmetrie.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
La dimostrazione sta scritta nel mio post. Poi pensa al caso unidimensionale; prendi la funzione \( f(x) = x^3 \) e integrala su \( [-1,1] \). E' vero che "\( [-1,0]\) è lo stesso intervallo che \( [0,1] \)" (leggi: l'uno è diffeomorfo all'altro), ma ovviamente \( \int_{[-1,0]} f \ne \int_{[0,1]} f \) (in questo caso solo il segno cambia perché la funzione è dispari, ma puoi divertirti a costruire un esempio in cui cambia anche il modulo). Stesso principio qui. Fare attenzione alle simmetrie.
Ma non sono uguali ? fa sempre 1/4
Eh?
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Eh?
Ho capito differiscono di un meno, grazie mille
"Salvy":
Pensavo fosse la via più semplice , anche perché ho fatto un esercizio simile e utilizzando questo ragionamento sono riuscito a risolverlo [...]
Beh, se l'integrale doppio proposto fosse stato $\int\int_A \text{d}x\text{d}y $ la via più semplice (a parte ovviamente $(\text{base} \times \text{altezza})/2 = 2 $...
) sì che sarebbe stata la seguente:$ \int\int_A \text{d}x\text{d}y = 4 \cdot \int_0^1 \int_0^x \text{d}y\text{d}x = 4 \cdot \int_0^1 x \text{d}x = 4 \cdot [x^2/2]_0^1 = 4 \cdot 1/2 = 2 $
grazie mille
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