Integrale doppio
ciao a tutti
mi aiutate con questo integrale?
$ int int_(D)^()sqrt(x^2+y^2) dx dy $
dove D è la regione definita dalla retta y=x e la circonferenza $x^2+y^2-2x=0$
io ho capito che la circonferena ha centro (1,0) raggio 1 e la retta è la bisettrice del 1 e 3 quadrante quindi il dominio è compreso tra la bisettrice e la circonferenza parte superiore.
Applico le coordinate polari x=1+r cost y=r sint (r è"ro" t è l'angolo "teta")
poi non riesco ad andare avanti perché l'angolo ho capito che è tra pi/4 e pi/2 ma non capisco come trovarlo e ro non è ovviamente costante perché il dominio non è l'intera circonferenza ma varia.
Grazie mille! Ho provato a farlo normalmente senza coordinate polari ma mi si è complicato tanto e non capisco perché.
ancora grazie
mi aiutate con questo integrale?
$ int int_(D)^()sqrt(x^2+y^2) dx dy $
dove D è la regione definita dalla retta y=x e la circonferenza $x^2+y^2-2x=0$
io ho capito che la circonferena ha centro (1,0) raggio 1 e la retta è la bisettrice del 1 e 3 quadrante quindi il dominio è compreso tra la bisettrice e la circonferenza parte superiore.
Applico le coordinate polari x=1+r cost y=r sint (r è"ro" t è l'angolo "teta")
poi non riesco ad andare avanti perché l'angolo ho capito che è tra pi/4 e pi/2 ma non capisco come trovarlo e ro non è ovviamente costante perché il dominio non è l'intera circonferenza ma varia.
Grazie mille! Ho provato a farlo normalmente senza coordinate polari ma mi si è complicato tanto e non capisco perché.
ancora grazie
Risposte
Ciao, io ho utilizzato le coordinate polari centrate nell'origine:
$\{(x=rhosin(theta)),(y=rhocos(theta)):}$
Come dominio di integrazione ottengo:
$\A'={(0<=theta<=pi/4),(0<=rho<=2cos(theta)):}$
L'integrale diventa:
$\int_(A')rho^2drhod\theta$
Spero di non aver sbagliato, come risultato mi viene $\(8sqrt2)/9$
$\{(x=rhosin(theta)),(y=rhocos(theta)):}$
Come dominio di integrazione ottengo:
$\A'={(0<=theta<=pi/4),(0<=rho<=2cos(theta)):}$
L'integrale diventa:
$\int_(A')rho^2drhod\theta$
Spero di non aver sbagliato, come risultato mi viene $\(8sqrt2)/9$
no perchè il risultato è diverso
mhh gli estremi di integrazione mi sembrano esatti vediamo se risponde qualcun altro
$ Theta $$ Theta $a parte che le coordinate polari dovrebbero essere x=1+$ rho $ cos $ Theta $ y=$rho$ sin $theta$ essendo circonferenza di centro 1,0 e raggio 1
Non si capisce bene se $D$ è la parte al di sopra della bisettrice o al di sotto, in entrambi i casi interna al cerchio di centro $(1,0)$ e raggio $1$.
Le coordinate polari sono riferite a un polo e tale polo è arbitrario, quindi va bene anche il suggerimento di paolods99; infatti la funzione integranda diventa infernale se usiamo le coordinate polari traslate, perciò sono d'accordo nell'usare $x= \rho \cos \theta$ e $y= \rho \sin \theta$.
Per quanto riguarda l'insieme di integrazione, supponiamo che sia quello al di sopra della bisettrice.
Devi quindi integrare
$$\iint_{E} \rho^2 \text{d}\rho \text{d}\theta$$
Con $E={(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)\in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ \rho^2 - 2\rho \cos \theta \leq 0, \sin \theta \geq \cos \theta, 0 \leq \theta < 2\pi}$
Prova a proseguire tu, il risultato è $\frac{2}{9}(8-5\sqrt{2})$; ti torna?
Altrimenti, se consideriamo la parte al di sotto della bisettrice, il risultato è $\frac{2}{9}(8+5\sqrt{2})$; se non è nessuno dei due allora ho semplicemente sbagliato io
Le coordinate polari sono riferite a un polo e tale polo è arbitrario, quindi va bene anche il suggerimento di paolods99; infatti la funzione integranda diventa infernale se usiamo le coordinate polari traslate, perciò sono d'accordo nell'usare $x= \rho \cos \theta$ e $y= \rho \sin \theta$.
Per quanto riguarda l'insieme di integrazione, supponiamo che sia quello al di sopra della bisettrice.
Devi quindi integrare
$$\iint_{E} \rho^2 \text{d}\rho \text{d}\theta$$
Con $E={(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta)\in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ \rho^2 - 2\rho \cos \theta \leq 0, \sin \theta \geq \cos \theta, 0 \leq \theta < 2\pi}$
Prova a proseguire tu, il risultato è $\frac{2}{9}(8-5\sqrt{2})$; ti torna?
Altrimenti, se consideriamo la parte al di sotto della bisettrice, il risultato è $\frac{2}{9}(8+5\sqrt{2})$; se non è nessuno dei due allora ho semplicemente sbagliato io
il risultato è $ 8/3(2/3-5/12sqrt2) $ ok va sistemato meglio il risultato ma porta così grazie, quindi è al di sopra della bisettrice.
non mi è chiaro come hai fatto a usare semplicemente le coordinate polari. Infatti mi era diventato impossibile, ma anche senza coordinate polari non riesco con le radici sostituite nelle radici è veramente impossibile.
non mi è chiaro come hai fatto a usare semplicemente le coordinate polari. Infatti mi era diventato impossibile, ma anche senza coordinate polari non riesco con le radici sostituite nelle radici è veramente impossibile.
Fortunatamente $\frac{8}{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{5}{12}\sqrt2\right)=\frac{2}{9}(8-5\sqrt{2})$, perciò si riferiva alla parte sopra alla bisettrice.
Senza coordinate polari non lo consiglierei neanche al mio peggior nemico: comunque te l'ho impostato in coordinate polari, cosa ti blocca?
Senza coordinate polari non lo consiglierei neanche al mio peggior nemico: comunque te l'ho impostato in coordinate polari, cosa ti blocca?
cioè, il procedimento dovrei averlo capito, dico il seguito, però le coordinate polari non fanno capo alla circonferenza che ho? E quella circonferenza non è nell'origine non dovrei considerare anche il centro quindi (1,0) ? E' traslata rispetto alla semplice coordinata polare. Non mi torna questo perché io ho utilizzato le traslate e infatti poi mi era diventato impossibile da risolvere
Come già detto, le coordinate polari si riferiscono a un polo e questo è arbitrario; tale polo non deve essere necessariamente il centro della circonferenza che stai trattando.
In questo caso l'insieme di integrazione si presta bene alle coordinate polari traslate ma non la funzione integranda; perciò il miglior compromesso è sacrificare un po' di semplicità sull'insieme di integrazione (che si manifesta nella presenza di quel $2 \cos \theta$) per avere una funzione integranda semplice.
Sicuro di sapere bene cosa siano le coordinate polari?
In questo caso l'insieme di integrazione si presta bene alle coordinate polari traslate ma non la funzione integranda; perciò il miglior compromesso è sacrificare un po' di semplicità sull'insieme di integrazione (che si manifesta nella presenza di quel $2 \cos \theta$) per avere una funzione integranda semplice.
Sicuro di sapere bene cosa siano le coordinate polari?
eh, io ho sempre considerato una circonferenza per le coordinate polari e per il polo sempre l'origine degli assi, quindi in questo caso il centro è traslato rispetto all'origine e ho preso la componente del centro sommato a $rho$ cos $theta$ e $rho$ sin $theta$
ora però sto provando a ricavare una delle condizioni, che l'angolo è tra 0 e 2pi, però per la circonferenza con centro l'origine mi è chiaro, qui no come hai fatto?
grazie mille
ora però sto provando a ricavare una delle condizioni, che l'angolo è tra 0 e 2pi, però per la circonferenza con centro l'origine mi è chiaro, qui no come hai fatto?
grazie mille
Prego! Devi risolvere $\sin \theta \geq \cos \theta$ (che corrisponde alla condizione $y \geq x$ trasformata dalle coordinate polari), $2\cos \theta \geq 0$ (che segue da $0 \leq \rho \leq 2\cos \theta$) e intersecare il tutto con il dominio naturale dell'angolo in coordinate polari $0 \leq \theta < 2\pi$.
si quelle si le ho capite, non capivo quella dell'angolo tra 0 e 2pi ma effettivamente è l'angolo che inizialmente è libero come una semplice circonferenza anche se traslata, sulla quale poi applico le altre condizioni come di solito. Ho sempre fatto esercizi con traslazione del centro, l'idea di cambiare il polo invece dell'origine un attimo mi mette in difficoltà ma forse devo farci un po' l'occhio
Esatto, rappresenta dove $\theta$ è libero di variare a meno di ulteriori vincoli. Quindi qual è l'intervallo in cui varia $\theta$ alla fine?
Tranquillo, basta fare la giusta pratica
Tranquillo, basta fare la giusta pratica
angolo compreso tra pi/4 e pi/3? non lo so però mi aspettavo tra pi/4 e pi/2
Ti aspetti bene, come giustamente si vede anche da un disegno dell'insieme $D$; ricontrolla i conti!
ma 2cos$theta$ $ > = $ 1 è per $theta$ tra -pi/3 e pi/3 giusto?
Perché $2 \cos \theta \geq 1$? Deve essere $2 \cos \theta \geq 0$.
beh, faccio $rho^2-2rhocostheta<=0$
quindi prendo rho =1 e ricavo quella disequazione e infatti non mi riporta
quindi prendo rho =1 e ricavo quella disequazione e infatti non mi riporta
No, da $\rho^2 - 2\rho \cos \theta \leq 0$ segue che $\rho^2 \leq 2\rho \cos \theta$; ma $\rho \geq 0$, perciò puoi dividere per $\rho$ mantenendo l'ordine.
Dunque arrivi a $\rho \leq 2 \cos \theta$, ma come appena detto è $\rho \geq 0$ e pertanto risulta $0 \leq \rho \leq 2 \cos \theta$; perciò, per transitività, deve essere anche $2 \cos \theta \geq 0$.
Dunque arrivi a $\rho \leq 2 \cos \theta$, ma come appena detto è $\rho \geq 0$ e pertanto risulta $0 \leq \rho \leq 2 \cos \theta$; perciò, per transitività, deve essere anche $2 \cos \theta \geq 0$.
si tra pi/2 e pi/4 quindi sbagliavo prima? grazie mille ancora
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