Integrale doppio
ciao!! mi aiutate con questo integrale?
$ int int_(D)^( )sqrt(|x-y|) dx dy $
dove D eè il dominio compreso tra 0 e 2 sia per x e sia per y
io ho capito che il dominio è un quadrato di lato 2 e che ho un valore assoluto quindi
x-y se x>=0
y-x se x<=0
il dominio è esattamente costituito da due triangoli se vedo la bisettrice y=x ma poi non so come proseguire. Stavolta non ho idea.
Grazie mille
$ int int_(D)^( )sqrt(|x-y|) dx dy $
dove D eè il dominio compreso tra 0 e 2 sia per x e sia per y
io ho capito che il dominio è un quadrato di lato 2 e che ho un valore assoluto quindi
x-y se x>=0
y-x se x<=0
il dominio è esattamente costituito da due triangoli se vedo la bisettrice y=x ma poi non so come proseguire. Stavolta non ho idea.
Grazie mille
Risposte
No, attenzione:
$|x - y| := {(x - y \text{ se } x >= y),(y - x \text{ se } x < y):}$
$|x - y| := {(x - y \text{ se } x >= y),(y - x \text{ se } x < y):}$
sisi giusto ho scritto male.. ho fatto come hai detto tu perché riguarda due variabili… ma poi?
@bastian.0
Ti ha risposto pilloeffe.
Disegna un quadrato di lato 2.
$x=y$ è la diagonale.
$yx$ è il triangolo superiore.
Questi sono i tuoi domini di integrazione.
Ora spezza il problema in "scrivere l'integrale di $sqrt(x-y)$ dove il dominio è il triangolo inferiore" e "scrivere l'integrale $sqrt(y-x)$ dove il dominio è il triangolo superiore"
Ti ha risposto pilloeffe.
Disegna un quadrato di lato 2.
$x=y$ è la diagonale.
$y
Questi sono i tuoi domini di integrazione.
Ora spezza il problema in "scrivere l'integrale di $sqrt(x-y)$ dove il dominio è il triangolo inferiore" e "scrivere l'integrale $sqrt(y-x)$ dove il dominio è il triangolo superiore"
Ma il valore assoluto è sotto radice, e l'argomento del radicando è sempre maggiore o uguale a 0. Io scriverei l'argomento valore assoluto maggiore o uguale a 0, eleverei al quadrato e avrei che x è maggiore uguale a y! Prenderei il triangolo tra l' asse x e la bisettrice e farei li l'integrazione della radice avendo eliminato il valore assoluto. Ho solo un pezzo.
Sbaglio?
Sbaglio?
No forse sbaglio perché devo partire prima dal valore assoluto e dopo faccio la radice. Il valore assoluto, con le due condizioni che impone, è sempre positivo quindi entrambi i pezzi sono consentiti nella radice. È cosi?
Un' altra cosa, il dominio inferiore ok ma quello superiore lo integro tra la bisettrice e la retta y=2 , se lo volessi fare x semplice?
Grazie mille
Un' altra cosa, il dominio inferiore ok ma quello superiore lo integro tra la bisettrice e la retta y=2 , se lo volessi fare x semplice?
Grazie mille
"bastian.0":
Ma il valore assoluto è sotto radice, e l'argomento del radicando è sempre maggiore o uguale a 0.
Lo è già. Un valore assoluto è sempre $>=0$
"bastian.0":
No forse sbaglio perché devo partire prima dal valore assoluto e dopo faccio la radice
"dopo" non devi fare nulla.
Una volta che hai spezzato il dominio, il radicando è sempre $>=0$
Prova ad invertire il ragionamento. Se ti avessi chiesto di risolvere l'integrale $int_0^2 int_0^x sqrt(|x-y|)dydx$ avresti notato che $0<=y<=x$ ovvero che $x>=y$ SEMPRE.
Ergo il radicando è sempre $>=0$, ergo avresti rimosso il modulo in tutta sicurezza e avresti risolto l'integrale.
Stessa cosa per $int_0^2 int_x^2 sqrt(|y-x|)dydx$ visto che $y>=x$ SEMPRE, avresti rimosso il modulo e risolto l'integrale.
Quindi proprio perché il valore assoluto è sempre positivo lo scindo in due parti senza ragionare se negativo o positivo il radicando, tanto col valore assoluto a maggior ragione non lo sarà mai negativo? Probabilmente mi viene un raddoppiamento di una stessa quantità, il risultato, perché la funzione è simmetrica rispetto alla bisettrice su cui ho valutato il dominio?
Io ho provato a svolgerlo ora per un dominio di lato 1. Vi porta 8/15? Ve lo chiedo perché non ho risultato
Io ho provato a svolgerlo ora per un dominio di lato 1. Vi porta 8/15? Ve lo chiedo perché non ho risultato
Proviamo così.
Il radicando deve essere $>=0$? C'è un modulo quindi è sempre vero.
Ora però hai un dominio e ti chiedi "quel modulo è sempre $>=0$ in questo dominio?"
Se la risposta è SI, allora elimini il valore assoluto ed integri nel dominio.
Se la risposta è no, allora devi "risolvere" quel modulo rispetto al dominio assegnatoti che quindi andrai a spezzare adeguatamente (in molti casi spezzerai il dominio di integrazione anche in $n$ porzioni diverse).
$int_0^2 int_0^x sqrt(x-y)dydx=(16sqrt(2))/15$
$int_0^2 int_x^2 sqrt(y-x)dydx=(16sqrt(2))/15$
Il radicando deve essere $>=0$? C'è un modulo quindi è sempre vero.
Ora però hai un dominio e ti chiedi "quel modulo è sempre $>=0$ in questo dominio?"
Se la risposta è SI, allora elimini il valore assoluto ed integri nel dominio.
Se la risposta è no, allora devi "risolvere" quel modulo rispetto al dominio assegnatoti che quindi andrai a spezzare adeguatamente (in molti casi spezzerai il dominio di integrazione anche in $n$ porzioni diverse).
$int_0^2 int_0^x sqrt(x-y)dydx=(16sqrt(2))/15$
$int_0^2 int_x^2 sqrt(y-x)dydx=(16sqrt(2))/15$
Si ok mi hai confermato che ho capito bene. Per un quadrato di lato 1 ti porta 8/15? Mille grazie!
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