Integrale doppio
Ciao, non riesco a risolvere questo integrale:
$ int_(0)^(1) int_(0)^(1) sqrt(|x-y|)dx dy $
La mia proposta errata è:
$ int_(0)^(1) int_(0)^(1) |x-y|^(1/2)dx dy =4int_(0)^(1) (x-y)^(3/2)|_0^1 dx = ... = frac{16}{5} $
e non mi vengono in mente altre idee.
Grazie a chi mi può aiutare.
$ int_(0)^(1) int_(0)^(1) sqrt(|x-y|)dx dy $
La mia proposta errata è:
$ int_(0)^(1) int_(0)^(1) |x-y|^(1/2)dx dy =4int_(0)^(1) (x-y)^(3/2)|_0^1 dx = ... = frac{16}{5} $
e non mi vengono in mente altre idee.
Grazie a chi mi può aiutare.
Risposte
Prima di tutto per semplificare potresti osservare come liberarsi del modulo (taglia il quadrato $[0,1]\times[0,1]$ nei due triangoli usando la bisettrice $y=x$). Una volta che riduci l'integranda a $\sqrt(x-y)$ io farei il cambio di variabile, nell'integrale in $dx$, dato da $x=y+z$.
Ok, semplificando il modulo e calcolando l'integrale per un triangolo ottengo:
$ int_(0)^(1) int_(0)^(x) (x-y)^(1/2) dy dx = -int_(0)^(1) 2/3 (x-y)^(3/2)|_(y=0)^(y=x) dx $
$ =-2/3int_(0)^1 -x^(3/2) dx = -2/3(-2/5x^(5/2)|_0 ^1 = 4/15 $
che effettivamente torna con quanto atteso.
La mia domanda però ora è: questo era l'unico metodo possibile? Chiedo perché nel mio libro questo esercizio è messo prima di spiegare cosa siano domini semplici e simili e mi chiedevo dunque se fosse risolvibile senza scomporre il modulo.
Grazie comunque per la pronta risposta!
$ int_(0)^(1) int_(0)^(x) (x-y)^(1/2) dy dx = -int_(0)^(1) 2/3 (x-y)^(3/2)|_(y=0)^(y=x) dx $
$ =-2/3int_(0)^1 -x^(3/2) dx = -2/3(-2/5x^(5/2)|_0 ^1 = 4/15 $
che effettivamente torna con quanto atteso.
La mia domanda però ora è: questo era l'unico metodo possibile? Chiedo perché nel mio libro questo esercizio è messo prima di spiegare cosa siano domini semplici e simili e mi chiedevo dunque se fosse risolvibile senza scomporre il modulo.
Grazie comunque per la pronta risposta!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo